题目
如果行列式 D 有两列元素对应成比例,则 D = 0 . ( )(答题格式: 写“对”或者“错”)A. 对B. 错
如果行列式 $ D $ 有两列元素对应成比例,则 $ D = 0 $. ( )(答题格式: 写“对”或者“错”)
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
考查要点:本题主要考查行列式的基本性质,特别是关于行列式列向量线性相关的性质。
解题核心思路:若行列式的两列元素对应成比例,则这两列线性相关,导致整个行列式的列向量组线性相关,从而行列式的值为0。
关键点:
- 行列式的性质:若行列式中有两列(或两行)成比例,则行列式值为0。
- 线性相关性:两列成比例意味着列向量线性相关,行列式反映的是向量组的线性无关程度,线性相关时行列式必为0。
分析过程:
- 列向量线性相关:若行列式$D$的两列元素对应成比例,即存在常数$k$,使得某一列的所有元素是另一列元素的$k$倍。
- 行列式的性质:行列式的值等于其列向量所张成的超平行体的“体积”。当列向量线性相关时,超平行体“坍缩”为更低维度的图形,体积为0。
- 代数推导:通过行列式的展开式或列变换(如将比例列相减得到全零列),可直接得出行列式值为0。
结论:题目描述的结论正确,答案为对。