题目
设总体服从参数为 (1)/(theta) 的指数分布,若X为样本均值, n 为样本容量,则下式中错误的是()A. Eoverline(X)=thetaB. Doverline(X)=(theta^2)/(n)C. E(overline(X))^2=((n+1)theta^2)/(n)D. (Eoverline(X))^2=(1)/(theta^2)
设总体服从参数为 $\frac{1}{\theta}$ 的指数分布,若X为样本均值, n 为样本容量,则下式中错误的是()
A. $E\overline{X}=\theta$
B. $D\overline{X}=\frac{\theta^2}{n}$
C. $E(\overline{X})^2=\frac{(n+1)\theta^2}{n}$
D. $(E\overline{X})^2=\frac{1}{\theta^2}$
题目解答
答案
D. $(E\overline{X})^2=\frac{1}{\theta^2}$
解析
步骤 1：理解指数分布的期望和方差
指数分布的期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 分别为 $\theta$ 和 $\theta^2$，其中 $\theta$ 是参数 $\frac{1}{\lambda}$ 的倒数，$\lambda$ 是指数分布的参数。
步骤 2：计算样本均值的期望
样本均值 $\overline{X}$ 的期望 $E(\overline{X})$ 等于总体期望 $E(X)$，即 $E(\overline{X}) = \theta$。因此，选项A正确。
步骤 3：计算样本均值的方差
样本均值 $\overline{X}$ 的方差 $D(\overline{X})$ 等于总体方差 $D(X)$ 除以样本容量 $n$，即 $D(\overline{X}) = \frac{\theta^2}{n}$。因此，选项B正确。
步骤 4：计算样本均值平方的期望
利用方差公式 $D(\overline{X}) = E(\overline{X}^2) - [E(\overline{X})]^2$，可以得到 $E(\overline{X}^2) = D(\overline{X}) + [E(\overline{X})]^2 = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \frac{(n+1)\theta^2}{n}$。因此，选项C正确。
步骤 5：计算样本均值期望的平方
样本均值期望的平方 $(E\overline{X})^2$ 等于 $\theta^2$，而不是 $\frac{1}{\theta^2}$。因此，选项D错误。
指数分布的期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 分别为 $\theta$ 和 $\theta^2$，其中 $\theta$ 是参数 $\frac{1}{\lambda}$ 的倒数，$\lambda$ 是指数分布的参数。
步骤 2：计算样本均值的期望
样本均值 $\overline{X}$ 的期望 $E(\overline{X})$ 等于总体期望 $E(X)$，即 $E(\overline{X}) = \theta$。因此，选项A正确。
步骤 3：计算样本均值的方差
样本均值 $\overline{X}$ 的方差 $D(\overline{X})$ 等于总体方差 $D(X)$ 除以样本容量 $n$，即 $D(\overline{X}) = \frac{\theta^2}{n}$。因此，选项B正确。
步骤 4：计算样本均值平方的期望
利用方差公式 $D(\overline{X}) = E(\overline{X}^2) - [E(\overline{X})]^2$，可以得到 $E(\overline{X}^2) = D(\overline{X}) + [E(\overline{X})]^2 = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \frac{(n+1)\theta^2}{n}$。因此，选项C正确。
步骤 5：计算样本均值期望的平方
样本均值期望的平方 $(E\overline{X})^2$ 等于 $\theta^2$，而不是 $\frac{1}{\theta^2}$。因此，选项D错误。