题目
1.化肥厂用自动包装机装化肥，规定每袋标准质量为100（单位：kg），设每袋质量假设X服从正态分布且标准差σ=0.9不变.某天抽取9袋，测得质量为99.3，98.7，101.2，100.5，98.3，99.7，102.6，100.5，105.1.问：机器工作是否正常？（α=0.05）
1.化肥厂用自动包装机装化肥，规定每袋标准质量为100（单位：kg），设每袋质量
假
设X服从正态分布且标准差σ=0.9不变.某天抽取9袋，测得质量为
99.3，98.7，101.2，100.5，98.3，99.7，102.6，100.5，105.1.
问：机器工作是否正常？（α=0.05）
题目解答
答案
1. **建立假设**：
$ H_0: \mu = 100 $（机器正常），$ H_1: \mu \neq 100 $（机器不正常）。
2. **计算样本均值**：
\[
\overline{X} = \frac{99.3 + 98.7 + \cdots + 105.1}{9} = 100.64
\]
3. **计算Z统计量**（已知总体标准差 $\sigma = 0.9$）：
\[
Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{100.64 - 100}{0.9 / 3} \approx 2.1333
\]
4. **确定临界值**（双侧检验，$\alpha = 0.05$）：
\[
Z_{\alpha/2} = 1.96
\]
5. **比较Z统计量与临界值**：
$ Z = 2.1333 > 1.96 $，拒绝 $ H_0 $。
**结论**：
认为机器工作不正常。
\[
\boxed{\text{认为机器工作不正常}}
\]
解析
步骤 1：建立假设
- 建立原假设 $H_0: \mu = 100$（机器工作正常）和备择假设 $H_1: \mu \neq 100$（机器工作不正常）。
步骤 2：计算样本均值
- 计算样本均值 $\overline{X}$，即所有样本质量的平均值。
步骤 3：计算Z统计量
- 使用样本均值、总体均值、总体标准差和样本量计算Z统计量。
步骤 4：确定临界值
- 根据显著性水平 $\alpha = 0.05$ 和双侧检验，确定临界值 $Z_{\alpha/2}$。
步骤 5：比较Z统计量与临界值
- 比较计算出的Z统计量与临界值，以决定是否拒绝原假设。
步骤 6：得出结论
- 根据比较结果，得出机器工作是否正常的结论。
- 建立原假设 $H_0: \mu = 100$（机器工作正常）和备择假设 $H_1: \mu \neq 100$（机器工作不正常）。
步骤 2：计算样本均值
- 计算样本均值 $\overline{X}$，即所有样本质量的平均值。
步骤 3：计算Z统计量
- 使用样本均值、总体均值、总体标准差和样本量计算Z统计量。
步骤 4：确定临界值
- 根据显著性水平 $\alpha = 0.05$ 和双侧检验，确定临界值 $Z_{\alpha/2}$。
步骤 5：比较Z统计量与临界值
- 比较计算出的Z统计量与临界值，以决定是否拒绝原假设。
步骤 6：得出结论
- 根据比较结果，得出机器工作是否正常的结论。