(4)已知函数f(x)在[a,b]上连续,且 (a)cdot f(b)leqslant 0, 则存在一点 ξ∈ () ,使得-|||-(5)=0.-|||-A.[a,b] B.(a,b] C.[a,b) D.(a,b)

考查要点：本题主要考查连续函数的零点定理的应用，重点在于理解定理中区间端点的包含关系。

解题核心思路：
当函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)\leqslant 0$时，可能存在零点在区间端点的情况。此时需要判断零点$\xi$所属的区间范围。

破题关键点：

1. 零点定理的条件：若$f(a)\cdot f(b)<0$，则零点$\xi$一定在开区间$(a,b)$内。
2. 端点为零点的情况：若$f(a)=0$或$f(b)=0$，则零点$\xi$可能恰好是端点$a$或$b$，此时$\xi$属于闭区间$[a,b]$。
3. 选项对比：开区间$(a,b)$不包含端点，因此当零点出现在端点时，选项D不成立，而选项A包含所有可能情况。

关键步骤分析：

1. 理解条件$f(a)\cdot f(b)\leqslant 0$：

   • 若$f(a)\cdot f(b)<0$，说明$f(a)$与$f(b)$异号，根据零点定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$f(\xi)=0$。
   • 若$f(a)\cdot f(b)=0$，则$f(a)=0$或$f(b)=0$，此时$\xi=a$或$\xi=b$，属于闭区间$[a,b]$。

2. 选项排除法：

   • 选项D$(a,b)$不包含端点，无法覆盖$f(a)=0$或$f(b)=0$的情况，因此错误。
   • 选项A$[a,b]$包含所有可能情况（端点和内部点），因此正确。