题目
记 P(A)为 A 的幂集, 集合P(A)为空集, 根据幂集的定义, 下列结论正确的有 ( ).A. P(A)B. P(A)C. P(A)D. P(A)
记 
为 A 的幂集, 集合
为空集, 根据幂集的定义, 下列结论正确的有 ( ).
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
首先，根据题目给出的条件，集合
，空集为
。
根据幂集的定义，集合A的幂集P(A)是由A的所有子集组成的集合，即：
接下来，我们逐一分析每个选项：
A. 
计算交集，我们需要找出同时属于A和P(A)的元素。由于A中的元素是a和b，而P(A)中的元素是集合，因此A和P(A)没有共同元素。所以，。选项A正确。
B.
由上面的分析可知，A和P(A)的交集是空集，而不是
。因此，选项B错误。
C. 
计算差集，我们需要找出属于A但不属于P(A)的元素。由于A中的元素是a和b，而P(A)中的元素是集合，因此A的所有元素都不属于P(A)。所以，
。但题目中给出的选项是，这是不正确的。因此，选项C错误。
D. 
计算差集，我们需要找出属于P(A)但不属于A的元素。由于P(A)包含空集和两个单元素集合
和
，以及集合A本身，而A只包含元素a和b。因此，差集将包含空集和两个单元素集合。所以，
。但题目中给出的选项是，这是不正确的。因此，选项D错误。
综上所述，本题的答案是A。
解析
考查要点：本题主要考查幂集的定义及集合运算（交集、差集）的应用。
解题核心思路：
- 明确幂集的构成：幂集P(A)是集合A所有子集的集合，包括空集、单元素子集和A本身。
- 区分元素与集合：A中的元素是原子（如a、b），而P(A)中的元素是集合（如∅、{a}等）。
- 集合运算的关键：
- 交集：寻找同时属于两个集合的元素。
- 差集：保留属于第一个集合但不属于第二个集合的元素。
破题关键点：
- 选项A：A和P(A)的元素类型不同，交集必然为空。
- 选项C：A的元素不在P(A)中，差集应为A本身。
- 选项D：P(A)中的元素包含空集和单元素集合，需注意题目描述是否准确。
已知：集合$A = \{a, b\}$，幂集$P(A) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}$。
选项A：$A \cap P(A) = \varnothing$
- 分析：
- $A$的元素是$a$和$b$，而$P(A)$的元素是集合（如$\varnothing$、$\{a\}$等）。
- 元素类型不同，无公共元素。
- 结论：正确。
选项B（题目未给出具体内容，暂无法分析）
选项C：$A - P(A) = \varnothing$
- 分析：
- 差集$A - P(A)$表示属于$A$但不属于$P(A)$的元素。
- $A$中的元素$a$和$b$均不在$P(A)$中，因此差集为$A$本身，即$\{a, b\}$。
- 结论：错误。
选项D：$P(A) - A = \{\varnothing, \{a, b\}\}$
- 分析：
- 差集$P(A) - A$表示属于$P(A)$但不属于$A$的元素。
- $P(A)$中的元素$\varnothing$、$\{a\}$、$\{b\}$、$\{a, b\}$均不在$A$中，因此差集应为$\{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}$。
- 题目中描述的$\{\varnothing, \{a, b\}\}$不完整，且可能包含笔误（如“p”应为$\varnothing$）。
- 结论：错误。