若sim N(1,1)，则sim N(1,1)________________.

考查要点：本题主要考查正态分布的线性变换性质，即对服从正态分布的随机变量进行线性变换后，新随机变量的分布参数（均值和方差）的计算。

解题核心思路：

1. 正态分布的封闭性：若$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则线性变换$aX + b$仍服从正态分布。
2. 均值与方差的计算：
   • 新均值为$a\mu + b$；
   • 新方差为$a^2 \sigma^2$。

破题关键点：

• 明确原分布的参数$\mu = 1$，$\sigma^2 = 1$；
• 应用线性变换公式直接计算新均值和方差。

已知$X \sim N(1, 1)$，即$X$的均值$\mu = 1$，方差$\sigma^2 = 1$。
对$Y = 2X + 1$进行分析：

计算新均值

根据期望的线性性质：
$E(Y) = E(2X + 1) = 2E(X) + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3.$

计算新方差

根据方差的性质（常数项对方差无影响）：
$D(Y) = D(2X + 1) = 2^2 D(X) = 4 \times 1 = 4.$

确定分布

由正态分布的封闭性可知，$Y = 2X + 1$仍服从正态分布，参数为均值$3$，方差$4$，即：
$Y \sim N(3, 4).$