题目

4.某饮料公司声称其产品平均容量为500ml。质检部门随机抽取了25瓶进行检测，测得平均容量为495ml，标准差为8ml。在显著性水平α=0.05下，检验该公司的声称是否成立。

题目解答

答案

为了检验饮料公司声称的平均容量为500ml是否成立，我们需要进行假设检验。具体步骤如下： 1. **提出假设：** - 零假设 $ H_0 $：平均容量 $\mu = 500$ ml - 备择假设 $ H_1 $：平均容量 $\mu \neq 500$ ml 2. **确定显著性水平：** - $\alpha = 0.05$ 3. **选择检验统计量：** - 由于样本容量 $ n = 25 $ 较小，且总体标准差未知，我们使用 t 检验。 4. **计算检验统计量：** - 样本平均值 $\bar{x} = 495$ ml - 总体均值 $\mu_0 = 500$ ml - 样本标准差 $ s = 8 $ ml - 样本容量 $ n = 25 $ - t 检验统计量的公式为： \[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \] - 代入数据，得到： \[ t = \frac{495 - 500}{8 / \sqrt{25}} = \frac{-5}{8 / 5} = \frac{-5}{1.6} = -3.125 \] 5. **确定临界值：** - 由于是双侧检验，我们需要找到 t 分布表中自由度 $ df = n - 1 = 24 $ 和显著性水平 $\alpha/2 = 0.025$ 对应的临界值。 - 从 t 分布表中查得， $ t_{0.025, 24} = 2.064 $ - 因此，临界值为 $ \pm 2.064 $ 6. **做出决策：** - 计算得到的 t 值为 $-3.125$，它小于 $-2.064$。 - 这意味着 t 值落在拒绝域内。 7. **结论：** - 我们拒绝零假设 $ H_0 $。 - 在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，质检部门有足够的证据认为饮料公司的声称不成立，即平均容量不为500ml。最终答案是：$\boxed{\text{拒绝原假设}}$。

解析

本题考查假设检验的应用，具体为单样本t检验（总体标准差未知、小样本），解题思路如下：

步骤1：提出假设

零假设 $H_0$：公司声称成立，即总体均值 $\mu = 500 \, \text{ml}}$（原假设通常为“无差异”或“声称成立”）；
**备择假设 $H₁**：公司声称不成立，即总体均值 \( \mu \neq 500 \, \text{ml}$（双侧检验（未指定方向）。

步骤2：确定检验统计量

样本容量 $n = 25$（小样本量较小），总体标准差未知（仅知样本标准差 $s = 8 \, \text{ml}$），故选择**t检验统计量：
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
其中：$样本均值) \( \bar{x} = 495 \, \text{ml}$，(假设总体均值) $\mu_0 = 500 \, \text{ml}$，(样本标准差) $s = 8 \, \text{ml}$，(样本量) $n = 25$。

步骤3：计算检验统计量值

代入数据：
$t = \frac{495 - 500}{8/\sqrt{25}} = \frac{-5}{8/5} = \frac{-5}{1.6} = -3.125$

步骤4：确定临界值与拒绝域

自由度 $df = n - 1 = 24$，显著性水平 $\alpha = 0.05$ )（双侧检验，$\alpha/2 = 0.025$）；
查t分布表得临界值：$t_{0.025,24} = 2.064$，拒绝域为 $|t| > 2.064$。

步骤5：决策

计算得 $t = -3.125$ )，$|t| = 3.125 > 2.064$，落在拒绝域内，**拒绝 $H_0$。

结论

在 $\alpha = 0.05$ 下，有足够证据认为公司声称不成立。