题目

(A)25 (B)16 (C)116 (D)1485、设总体X~N(μ，σ²)，当σ²已知时，检验假设H_(0)：mu=mu_(0)；H_(1)：muneqmu_(0)，(μ₀为已知常数)，在给定显著性水平α下，接受原假设的接受域是（）(A)(-u_(1-(alpha)/(2)),u_((alpha)/(2))) (B)(-u_((alpha)/(2)),u_((alpha)/(2))) (C)(-t_(alpha)(n-1),t_(alpha)(n-1)) (D)(-t_((alpha)/(2))(n-1),-t_((alpha)/(2))(n-1))

(A)25 (B)16 (C)116 (D)148 5、设总体X~N(μ，σ²)，当σ²已知时，检验假设$H_{0}：\mu=\mu_{0}$；$H_{1}：\mu\neq\mu_{0}$，(μ₀为已知常数)，在给定显著性水平α下，接受原假设的接受域是（） (A)$\left(-u_{1-\frac{\alpha}{2}},u_{\frac{\alpha}{2}}\right)$ (B)$\left(-u_{\frac{\alpha}{2}},u_{\frac{\alpha}{2}}\right)$ (C)$\left(-t_{\alpha}(n-1),t_{\alpha}(n-1)\right)$ (D)$\left(-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\right)$

题目解答

答案

为了确定在给定显著性水平$\alpha$下接受原假设$H_0: \mu = \mu_0$的接受域，我们需要遵循以下步骤：

  1. 识别检验统计量：
    由于总体$X$服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$且$\sigma^2$已知，检验$\mu$的适当检验统计量是Z统计量，定义为：
    $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
    其中$\bar{X}$是样本均值，$\mu_0$是假设的总体均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本大小。

  2. 确定拒绝域：
    对于双侧检验$H_1: \mu \neq \mu_0$，我们在标准正态分布的 tails $\alpha/2$处拒绝原假设。这意味着如果Z统计量的绝对值大于标准正态分布的上$\alpha/2$分位数，我们拒绝原假设。上$\alpha/2$分位数表示为$u_{\alpha/2}$。

    因此，拒绝域是：
    $|Z| > u_{\alpha/2}$
    或等价地，
    $Z < -u_{\alpha/2} \quad \text{或} \quad Z > u_{\alpha/2}$

  3. 确定接受域：
    接受域是拒绝域的补集。因此，如果Z统计量的绝对值小于或等于标准正态分布的上$\alpha/2$分位数，我们接受原假设。这意味着：
    $|Z| \leq u_{\alpha/2}$
    或等价地，
    $-u_{\alpha/2} \leq Z \leq u_{\alpha/2}$

    用区间表示，接受域是：
    $\left( -u_{\alpha/2}, u_{\alpha/2} \right)$

由于检验统计量是Z统计量，我们使用标准正态分布，正确的选择是：
$\boxed{B}$

解析

本题考查正态总体在方差已知时，对均值进行双侧假设检验的接受域的确定。解题思路如下：

  1. 确定检验统计量：
    • 已知总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$且$\sigma^{2}$已知，根据正态分布的性质，当从该总体中抽取样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$，样本均值为$\overline{X}$时，统计量$Z = \frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$服从标准正态分布$N(0,1)$，这里$\mu_0$是原假设$H_0:\mu = \mu_0$中的已知均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。
  2. 确定拒绝域：
    • 对于双侧检验$H_1:\mu\neq\mu_0$，在显著性水平$\alpha$下，我们将$\alpha$平均分配到标准正态分布的两个尾部，每个尾部的概率为$\frac{\alpha}{2}$。
    • 设$u_{\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位数，即$P(Z>u_{\frac{\alpha}{2}})=\frac{\alpha}{2}$，根据标准正态分布的对称性，$P(Z < - u_{\frac{\alpha}{2}})=\frac{\alpha}{2}$。
    • 当检验统计量$Z$的值落在这两个尾部时，我们拒绝原假设$H_0$，所以拒绝域为$Z < -u_{\frac{\alpha}{2}}$或$Z>u_{\frac{\alpha}{2}}$，用绝对值形式表示为$\vert Z\vert>u_{\frac{\alpha}{2}}$。
  3. 确定接受域：
    • 接受域是拒绝域的补集。因为拒绝域是$\vert Z\vert>u_{\frac{\alpha}{2}}$，所以接受域就是$\vert Z\vert\leq u_{\frac{\alpha}{2}}$，将其展开为不等式形式为$-u_{\frac{\alpha}{2}}\leq Z\leq u_{\frac{\alpha}{2}}$，用区间表示接受域为$\left(-u_{\frac{\alpha}{2}},u_{\frac{\alpha}{2}}\right)$。
    • 由于使用的是$Z$统计量，是基于标准正态分布，而不是$t$分布（$t$分布用于总体方差未知的情况），所以选项C和D错误。选项A中$-u_{1 - \frac{\alpha}{2}}$表述错误，因为$u_{1-\frac{\alpha}{2}}=u_{\frac{\alpha}{2}}$（根据标准正态分布的性质）。