11.设总体X的概率密度为-|||-(x;theta )= dfrac (1)(theta )(x)^(1-theta )/theta ,0lt xlt 1 ,.lt 0lt 00 ,-|||-0, 其他.-|||-X1,X2,···,Nn是来自总体X的样本.-|||-(1)验证θ的最大似然估计量是 hat (theta )=-dfrac (1)(n)sum _(i=1)^nln (X)_(i),-|||-(2)证明θ是θ的无偏估计量.

步骤 1：似然函数的构造
似然函数 $L(\theta)$ 是概率密度函数 $f(x;\theta)$ 在给定样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 下的乘积，即
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} X_i^{(1-\theta)/\theta}.
$$
步骤 2：对数似然函数
对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\theta)$：
$$
\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{1}{\theta} X_i^{(1-\theta)/\theta} \right) = -n \ln \theta + \frac{1-\theta}{\theta} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i.
$$
步骤 3：求导并求解
对 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于0，得到：
$$
\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i = 0.
$$
解得：
$$
\hat{\theta} = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i.
$$
步骤 4：证明无偏性
为了证明 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量，我们需要计算 $\hat{\theta}$ 的期望值 $E(\hat{\theta})$：
$$
E(\hat{\theta}) = E\left( -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i \right) = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(\ln X_i).
$$
由于 $X_i$ 是独立同分布的，所以 $E(\ln X_i)$ 对所有 $i$ 都相同。因此，我们只需要计算 $E(\ln X)$，其中 $X$ 是服从给定概率密度函数的随机变量。计算 $E(\ln X)$：
$$
E(\ln X) = \int_{0}^{1} \ln x \cdot \frac{1}{\theta} x^{(1-\theta)/\theta} dx.
$$
通过分部积分法，可以得到：
$$
E(\ln X) = -\theta.
$$
因此，
$$
E(\hat{\theta}) = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (-\theta) = \theta.
$$