题目
设为的无偏估计,且, n为样本容量,则为的__.A. .无偏估计; B. 有效估计; C. 一致估计; D. 以上均不正确.
设
为
的无偏估计,且
, n为样本容量,则
为的__.
B. 有效估计;
C. 一致估计;
D. 以上均不正确.
题目解答
答案
C. 一致估计;
解析
步骤 1：理解无偏估计
无偏估计是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即$E(\hat{\theta}) = \theta$，其中$\hat{\theta}$是参数$\theta$的估计量。
步骤 2：理解一致估计
一致估计是指随着样本容量$n$的增加，估计量$\hat{\theta}$依概率收敛于参数$\theta$。即$\lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta} - \theta| > \epsilon) = 0$，对任意$\epsilon > 0$。
步骤 3：分析给定条件
题目给出$\lim_{n \to \infty} D(\hat{\theta}) = 0$，其中$D(\hat{\theta})$是估计量$\hat{\theta}$的方差。这意味着随着样本容量$n$的增加，估计量$\hat{\theta}$的方差趋于0，即估计量$\hat{\theta}$的波动性减小，估计量$\hat{\theta}$依概率收敛于参数$\theta$。因此，$\hat{\theta}$是一致估计。
步骤 4：分析$\dfrac{n-1}{n}\hat{\theta}$
由于$\hat{\theta}$是无偏估计，即$E(\hat{\theta}) = \theta$，则$E(\dfrac{n-1}{n}\hat{\theta}) = \dfrac{n-1}{n}E(\hat{\theta}) = \dfrac{n-1}{n}\theta$。因此，$\dfrac{n-1}{n}\hat{\theta}$不是无偏估计。但是，由于$\hat{\theta}$是一致估计，即$\lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta} - \theta| > \epsilon) = 0$，则$\lim_{n \to \infty} P(|\dfrac{n-1}{n}\hat{\theta} - \theta| > \epsilon) = 0$。因此，$\dfrac{n-1}{n}\hat{\theta}$也是一致估计。
无偏估计是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即$E(\hat{\theta}) = \theta$，其中$\hat{\theta}$是参数$\theta$的估计量。
步骤 2：理解一致估计
一致估计是指随着样本容量$n$的增加，估计量$\hat{\theta}$依概率收敛于参数$\theta$。即$\lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta} - \theta| > \epsilon) = 0$，对任意$\epsilon > 0$。
步骤 3：分析给定条件
题目给出$\lim_{n \to \infty} D(\hat{\theta}) = 0$，其中$D(\hat{\theta})$是估计量$\hat{\theta}$的方差。这意味着随着样本容量$n$的增加，估计量$\hat{\theta}$的方差趋于0，即估计量$\hat{\theta}$的波动性减小，估计量$\hat{\theta}$依概率收敛于参数$\theta$。因此，$\hat{\theta}$是一致估计。
步骤 4：分析$\dfrac{n-1}{n}\hat{\theta}$
由于$\hat{\theta}$是无偏估计，即$E(\hat{\theta}) = \theta$，则$E(\dfrac{n-1}{n}\hat{\theta}) = \dfrac{n-1}{n}E(\hat{\theta}) = \dfrac{n-1}{n}\theta$。因此，$\dfrac{n-1}{n}\hat{\theta}$不是无偏估计。但是，由于$\hat{\theta}$是一致估计，即$\lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta} - \theta| > \epsilon) = 0$，则$\lim_{n \to \infty} P(|\dfrac{n-1}{n}\hat{\theta} - \theta| > \epsilon) = 0$。因此，$\dfrac{n-1}{n}\hat{\theta}$也是一致估计。