2.[判断题] 当 x → 0 时, sin3x 与 (e^x-1) 为同阶无穷小.A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查无穷小量阶的比较方法，特别是利用等价无穷小替换判断两个函数是否为同阶无穷小。

解题核心思路：
当比较两个无穷小量的阶时，关键是计算它们的比值在极限过程中的极限。若极限为非零常数，则两者为同阶无穷小；若极限为0或无穷大，则分别为高阶或低阶无穷小。

破题关键点：

1. 等价无穷小替换：
   • $\sin 3x \sim 3x$（当$x \to 0$时）
   • $e^x - 1 \sim x$（当$x \to 0$时）
2. 比值计算：通过替换后的表达式计算$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{e^x - 1}$，判断是否为非零常数。

步骤1：应用等价无穷小替换

• 当$x \to 0$时，$\sin 3x \sim 3x$，即$\sin 3x$与$3x$是等价无穷小。
• 当$x \to 0$时，$e^x - 1 \sim x$，即$e^x - 1$与$x$是等价无穷小。

步骤2：计算比值的极限
将等价无穷小代入比值：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = \lim_{x \to 0} 3 = 3$
结论：极限值为3（非零常数），因此$\sin 3x$与$e^x - 1$是同阶无穷小。