函数 y=cos(1)/(x) 为无穷小量的条件A. xarrowinftyB. xarrow0C. xarrow(pi)/(2)D. xarrow(2)/(pi)

本题考查无穷小量的概念以及函数极限的计算。解题的关键在于明确无穷小量的定义，即当自变量在某个变化过程中，函数的极限为$0$，则称该函数为无穷小量。我们需要分别分析每个选项中自变量趋近于不同值时，函数$y = \cos\frac{1}{x}$的极限情况。

1. 分析选项A：
   • 当$x\rightarrow\infty$时，根据极限的运算法则，$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$。
   • 再根据复合函数极限的性质，$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\cos\frac{1}{x}=\cos(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x})$。
   • 因为$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$，且$\cos0 = 1$，所以$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\cos\frac{1}{x}=1\neq0$，此时函数$y = \cos\frac{1}{x}$不是无穷小量。
2. 分析选项B：
   • 当$x\rightarrow0$时，$\frac{1}{x}\rightarrow\infty$。
   • 随着$\frac{1}{x}$趋近于无穷大，$\cos\frac{1}{x}$的值在$[-1,1]$之间不断振荡，没有确定的极限值，所以函数$y = \cos\frac{1}{x}$不是无穷小量。
3. 分析选项C：
   • 当$x\rightarrow\frac{\pi}{2}$时，根据极限的运算法则，$\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{1}{x}=\frac{2}{\pi}$。
   • 再根据复合函数极限的性质，$\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\cos\frac{1}{x}=\cos(\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{1}{x})$。
   • 因为$\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{1}{x}=\frac{2}{\pi}$，且$\cos\frac{2}{\pi}\neq0$，所以$\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\cos\frac{1}{x}=\cos\frac{2}{\pi}\neq0$，此时函数$y = \cos\frac{1}{x}$不是无穷小量。
4. 分析选项D：
   • 当$x\rightarrow\frac{2}{\pi}$时，根据极限的运算法则，$\lim\limits_{x\rightarrow\frac{2}{\pi}}\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$。
   • 再根据复合函数极限的性质，$\lim\limits_{x\rightarrow\frac{2}{\pi}}\cos\frac{1}{x}=\cos(\lim\limits_{x\rightarrow\frac{2}{\pi}}\frac{1}{x})$。
   • 因为$\lim\limits_{x\rightarrow\frac{2}{\pi}}\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$，且$\cos\frac{\pi}{2} = 0$，所以$\lim\limits_{x\rightarrow\frac{2}{\pi}}\cos\frac{1}{x}=0$，此时函数$y = \cos\frac{1}{x}$是无穷小量。