题目
某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8,医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这断言的概率是多少?(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问接受这一断言的概率是多少
某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8,
医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受这一断
言,否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这
断言的概率是多少?(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问接受这一断言
的概率是多少
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设X为100人中治愈的人数，则$X\sim B(n,p)$，其中n=100。
步骤 2：计算治愈率为0.8时接受断言的概率
当治愈率为0.8时，$p=0.8$，$q=1-p=0.2$，$np=80$，$npq=16$。
根据中心极限定理，$X$近似服从正态分布$N(80,16)$。
$P(X>75)=1-P(X\leqslant 75)=1-P(\dfrac {X-80}{\sqrt {16}}\leqslant \dfrac {75-80}{\sqrt {16}})=1-\Phi (\dfrac {-5}{4})=\Phi (\dfrac {5}{4})=0.8944$。
步骤 3：计算治愈率为0.7时接受断言的概率
当治愈率为0.7时，$p=0.7$，$q=1-p=0.3$，$np=70$，$npq=21$。
根据中心极限定理，$X$近似服从正态分布$N(70,21)$。
$P(X>75)=1-P(X\leqslant 75)=1-P(\dfrac {X-70}{\sqrt {21}}\leqslant \dfrac {75-70}{\sqrt {21}})=1-\Phi (\dfrac {5}{\sqrt {21}})=1-\Phi (1.09)=1-0.8621=0.1379$。
设X为100人中治愈的人数，则$X\sim B(n,p)$，其中n=100。
步骤 2：计算治愈率为0.8时接受断言的概率
当治愈率为0.8时，$p=0.8$，$q=1-p=0.2$，$np=80$，$npq=16$。
根据中心极限定理，$X$近似服从正态分布$N(80,16)$。
$P(X>75)=1-P(X\leqslant 75)=1-P(\dfrac {X-80}{\sqrt {16}}\leqslant \dfrac {75-80}{\sqrt {16}})=1-\Phi (\dfrac {-5}{4})=\Phi (\dfrac {5}{4})=0.8944$。
步骤 3：计算治愈率为0.7时接受断言的概率
当治愈率为0.7时，$p=0.7$，$q=1-p=0.3$，$np=70$，$npq=21$。
根据中心极限定理，$X$近似服从正态分布$N(70,21)$。
$P(X>75)=1-P(X\leqslant 75)=1-P(\dfrac {X-70}{\sqrt {21}}\leqslant \dfrac {75-70}{\sqrt {21}})=1-\Phi (\dfrac {5}{\sqrt {21}})=1-\Phi (1.09)=1-0.8621=0.1379$。