题目
设随机变量X与Y相互独立且X~N(3,4)，Y~N(2,9)，若Z=3X-2Y则E(Z)=____，D(Z)=
设随机变量X与Y相互独立且X~N(3,4)，Y~N(2,9)，若Z=3X-2Y则E(Z)=____，D(Z)=
题目解答
答案
根据期望和方差的性质，对于随机变量 $Z = 3X - 2Y$：
1. **计算期望**：
$E(Z) = E(3X - 2Y) = 3E(X) - 2E(Y) = 3 \times 3 - 2 \times 2 = 5$。
2. **计算方差**（利用独立性）：
$D(Z) = D(3X - 2Y) = 9D(X) + 4D(Y) = 9 \times 4 + 4 \times 9 = 72$。
**答案**：
$E(Z) = 5$，$D(Z) = 72$。
\[
\boxed{
\begin{array}{c}
E(Z) = 5 \\
D(Z) = 72
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：计算期望
根据期望的线性性质，对于随机变量 $Z = 3X - 2Y$，我们有：
\[ E(Z) = E(3X - 2Y) = 3E(X) - 2E(Y) \]
由于 $X \sim N(3, 4)$ 和 $Y \sim N(2, 9)$，我们有 $E(X) = 3$ 和 $E(Y) = 2$。因此：
\[ E(Z) = 3 \times 3 - 2 \times 2 = 9 - 4 = 5 \]
步骤 2：计算方差
根据方差的性质，对于随机变量 $Z = 3X - 2Y$，我们有：
\[ D(Z) = D(3X - 2Y) = 9D(X) + 4D(Y) \]
由于 $X \sim N(3, 4)$ 和 $Y \sim N(2, 9)$，我们有 $D(X) = 4$ 和 $D(Y) = 9$。因此：
\[ D(Z) = 9 \times 4 + 4 \times 9 = 36 + 36 = 72 \]
根据期望的线性性质，对于随机变量 $Z = 3X - 2Y$，我们有：
\[ E(Z) = E(3X - 2Y) = 3E(X) - 2E(Y) \]
由于 $X \sim N(3, 4)$ 和 $Y \sim N(2, 9)$，我们有 $E(X) = 3$ 和 $E(Y) = 2$。因此：
\[ E(Z) = 3 \times 3 - 2 \times 2 = 9 - 4 = 5 \]
步骤 2：计算方差
根据方差的性质，对于随机变量 $Z = 3X - 2Y$，我们有：
\[ D(Z) = D(3X - 2Y) = 9D(X) + 4D(Y) \]
由于 $X \sim N(3, 4)$ 和 $Y \sim N(2, 9)$，我们有 $D(X) = 4$ 和 $D(Y) = 9$。因此：
\[ D(Z) = 9 \times 4 + 4 \times 9 = 36 + 36 = 72 \]