题目
某药厂用自动包装机包装葡萄糖，按规定每袋葡萄糖的标准重量为500g，若已知包装机包装的每袋葡萄糖重量服从正态分布，且按以往标准知总体方差(sigma )^2=(6.5)^2。某日开工后，为检验包装机工作是否正常，随机抽取6袋葡萄糖，测得其平均重量=504.5g。问题：该日自动包装机包装的平均重量是否还是500g？(已知(sigma )^2=(6.5)^2)
某药厂用自动包装机包装葡萄糖，按规定每袋葡萄糖的标准重量为500g，若已知包装机包装的每袋葡萄糖重量服从正态分布，且按以往标准知总体方差
。某日开工后，为检验包装机工作是否正常，随机抽取6袋葡萄糖，测得其平均重量=504.5g。问题：该日自动包装机包装的平均重量是否还是500g？
(已知
)
题目解答
答案
某药厂用自动包装机包装葡萄糖，按规定每袋葡萄糖的标准重量为
g，已知包装机包装的每袋葡萄糖重量服从正态分布，且按以往标准知总体方差，则总体标准差为
，随机抽取
袋葡萄糖，测得其平均重量
g，想要检验该日自动包装机包装的平均重量是500g，则检验假设为
，总体标准差已知，则检验假设的拒绝域为
，其中置信水平通常取
，则
，
，则样本均值没有落入拒绝域内，则接受原假设
，认为该日自动包装机包装的平均重量还是500g。
解析
步骤 1：确定检验假设
根据题意，需要检验该日自动包装机包装的平均重量是否还是500g。因此，检验假设为：
${H}_{0}:\mu =500$（原假设，即平均重量为500g）
${H}_{1}:\mu \neq 500$（备择假设，即平均重量不为500g）
步骤 2：确定检验统计量
由于总体方差已知，且样本量较小（n=6），因此使用Z检验统计量。检验统计量的计算公式为：
$Z=\dfrac {\overline {x}-\mu _{0}}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}$
其中，$\overline {x}$为样本均值，$\mu _{0}$为假设的总体均值，$\sigma$为总体标准差，n为样本量。
步骤 3：计算检验统计量的值
将已知数据代入检验统计量的计算公式中，得到：
$Z=\dfrac {504.5-500}{\dfrac {6.5}{\sqrt {6}}}$
$Z=\dfrac {4.5}{\dfrac {6.5}{\sqrt {6}}}$
$Z=\dfrac {4.5}{\dfrac {6.5}{2.449}}$
$Z=\dfrac {4.5}{2.65}$
$Z\approx 1.70$
步骤 4：确定拒绝域
根据题意，显著性水平为0.05，因此双侧检验的临界值为$\pm 1.96$。拒绝域为$(-\infty , -1.96)\cup (1.96, +\infty )$。
步骤 5：做出决策
由于计算得到的检验统计量$Z\approx 1.70$没有落入拒绝域内，因此不拒绝原假设${H}_{0}$，即认为该日自动包装机包装的平均重量还是500g。
根据题意，需要检验该日自动包装机包装的平均重量是否还是500g。因此，检验假设为：
${H}_{0}:\mu =500$（原假设，即平均重量为500g）
${H}_{1}:\mu \neq 500$（备择假设，即平均重量不为500g）
步骤 2：确定检验统计量
由于总体方差已知，且样本量较小（n=6），因此使用Z检验统计量。检验统计量的计算公式为：
$Z=\dfrac {\overline {x}-\mu _{0}}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}$
其中，$\overline {x}$为样本均值，$\mu _{0}$为假设的总体均值，$\sigma$为总体标准差，n为样本量。
步骤 3：计算检验统计量的值
将已知数据代入检验统计量的计算公式中，得到：
$Z=\dfrac {504.5-500}{\dfrac {6.5}{\sqrt {6}}}$
$Z=\dfrac {4.5}{\dfrac {6.5}{\sqrt {6}}}$
$Z=\dfrac {4.5}{\dfrac {6.5}{2.449}}$
$Z=\dfrac {4.5}{2.65}$
$Z\approx 1.70$
步骤 4：确定拒绝域
根据题意，显著性水平为0.05，因此双侧检验的临界值为$\pm 1.96$。拒绝域为$(-\infty , -1.96)\cup (1.96, +\infty )$。
步骤 5：做出决策
由于计算得到的检验统计量$Z\approx 1.70$没有落入拒绝域内，因此不拒绝原假设${H}_{0}$，即认为该日自动包装机包装的平均重量还是500g。