5.若f(x)在[a,b ]上连续, lt (x)_(1)lt (x)_(2)lt ... lt (x)_(n)lt b(ngeqslant 3), 则在(x1,xn)内至少有一-|||-点ξ,使 (xi )=dfrac (f({x)_(1))+f((x)_(2))+... +f((x)_(n))}(n)

考查要点：本题主要考查连续函数的介值定理及其应用，需要结合最值定理进行综合分析。

解题核心思路：

1. 确定范围：利用连续函数在闭区间上的最值定理，找到函数的最大值$M$和最小值$m$。
2. 比较平均值与最值：证明平均值$\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$必然落在$[m, M]$区间内。
3. 分情况讨论：
   • 严格介于最值之间：直接应用介值定理，存在$\xi$使$f(\xi)$等于平均值。
   • 等于最值：此时所有点的函数值必须相等，直接选取中间点作为$\xi$。

破题关键：理解当平均值等于最值时，所有采样点的函数值必须一致，从而保证存在符合条件的$\xi$。

步骤1：确定最值
由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$[x_1, x_n] \subset [a,b]$，根据最值定理，$f(x)$在$[x_1, x_n]$上存在最大值$M$和最小值$m$，即：
$m \leq f(x) \leq M \quad \text{对任意} x \in [x_1, x_n].$

步骤2：比较平均值与最值
对所有采样点求平均：
$\frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n} \leq \frac{M + M + \cdots + M}{n} = M,$
$\frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n} \geq \frac{m + m + \cdots + m}{n} = m.$
因此，平均值$\mu = \frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n}$满足：
$m \leq \mu \leq M.$

步骤3：分情况应用定理

• 情况1：$\mu$严格在$(m, M)$之间
  根据介值定理，存在$\xi \in (x_1, x_n)$，使得$f(\xi) = \mu$。

• 情况2：$\mu = m$或$\mu = M$

  • 若$\mu = m$，则所有$f(x_i) = m$（否则平均值会大于$m$），此时任意$x_i \in (x_1, x_n)$（如$x_2, x_3, \dots, x_{n-1}$）均可作为$\xi$。
  • 若$\mu = M$，同理可证所有$f(x_i) = M$，直接选取中间点作为$\xi$。