题目
4-3 温度为T1,T2的两个热源间有两个卡诺机A与B串联工作(即中间热源接受A-|||-机的放热同时向B机供给等量热)。试证这种串联工作的卡诺热机总效率与工作于同一-|||-T1,T2热源间的单个卡诺机效率相同。
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义卡诺机的效率
卡诺机的效率定义为：$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$，其中$T_1$是高温热源的温度，$T_2$是低温热源的温度。对于卡诺机A和B，它们的效率分别为$\eta_A = 1 - \frac{T_m}{T_1}$和$\eta_B = 1 - \frac{T_2}{T_m}$，其中$T_m$是中间热源的温度。
步骤 2：计算串联工作的卡诺机总效率
串联工作的卡诺机总效率为：$\eta_{A+B} = \frac{W_A + W_B}{Q_1}$，其中$W_A$和$W_B$分别是卡诺机A和B所做的功，$Q_1$是卡诺机A从高温热源吸收的热量。根据卡诺机的效率定义，$W_A = Q_1 \eta_A$，$W_B = (Q_1 - Q_1 \eta_A) \eta_B$。因此，$\eta_{A+B} = \frac{Q_1 \eta_A + (Q_1 - Q_1 \eta_A) \eta_B}{Q_1}$。
步骤 3：化简串联工作的卡诺机总效率
化简上式，得到：$\eta_{A+B} = \eta_A + (1 - \eta_A) \eta_B$。将$\eta_A$和$\eta_B$的表达式代入，得到：$\eta_{A+B} = 1 - \frac{T_m}{T_1} + 1 - \frac{T_2}{T_m} - [(1 - \frac{T_m}{T_1})(1 - \frac{T_2}{T_m})]$。化简后得到：$\eta_{A+B} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$。
步骤 4：比较串联工作的卡诺机总效率与单个卡诺机的效率
单个卡诺机的效率为：$\eta_{C} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$。比较$\eta_{A+B}$和$\eta_{C}$，可以发现它们是相同的。
卡诺机的效率定义为：$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$，其中$T_1$是高温热源的温度，$T_2$是低温热源的温度。对于卡诺机A和B，它们的效率分别为$\eta_A = 1 - \frac{T_m}{T_1}$和$\eta_B = 1 - \frac{T_2}{T_m}$，其中$T_m$是中间热源的温度。
步骤 2：计算串联工作的卡诺机总效率
串联工作的卡诺机总效率为：$\eta_{A+B} = \frac{W_A + W_B}{Q_1}$，其中$W_A$和$W_B$分别是卡诺机A和B所做的功，$Q_1$是卡诺机A从高温热源吸收的热量。根据卡诺机的效率定义，$W_A = Q_1 \eta_A$，$W_B = (Q_1 - Q_1 \eta_A) \eta_B$。因此，$\eta_{A+B} = \frac{Q_1 \eta_A + (Q_1 - Q_1 \eta_A) \eta_B}{Q_1}$。
步骤 3：化简串联工作的卡诺机总效率
化简上式，得到：$\eta_{A+B} = \eta_A + (1 - \eta_A) \eta_B$。将$\eta_A$和$\eta_B$的表达式代入，得到：$\eta_{A+B} = 1 - \frac{T_m}{T_1} + 1 - \frac{T_2}{T_m} - [(1 - \frac{T_m}{T_1})(1 - \frac{T_2}{T_m})]$。化简后得到：$\eta_{A+B} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$。
步骤 4：比较串联工作的卡诺机总效率与单个卡诺机的效率
单个卡诺机的效率为：$\eta_{C} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$。比较$\eta_{A+B}$和$\eta_{C}$，可以发现它们是相同的。