B-|||-F-|||-A有一个固定竖直放置的圆形轨道，半径为R，由左右两部分组成，如图所示，右半部分轨道AEB是光滑的，左半部分轨道BFA是粗糙的。在最低点A给一质量为m的小球（可视为质点）一个水平向右的初速度vo，使小球恰好能沿轨道AEB运动到最高点B，然后又能沿轨道BFA回到A点，且回到A点时对轨道的压力为5mg，g为重力加速度，求（1）小球的初速度vo的大小；（2）小球由B经F回到A的过程中克服摩擦力做的功。（3）若规定以A点所在水平面为零势能面，则小球在与轨道AEB分离时，小球具有的重力势能为多少。

考查要点：本题综合考查机械能守恒、动能定理、牛顿运动定律及能量守恒的应用，涉及光滑与粗糙轨道的运动分析。

解题核心思路：

1. 最高点临界条件：小球恰好到达最高点时，由重力提供向心力，确定此时速度。
2. 机械能守恒：光滑轨道段（A→B）机械能守恒，建立能量关系。
3. 动能定理：粗糙轨道段（B→A）需考虑摩擦力做功，结合动能变化求解。
4. 能量分配：分离点的机械能由动能和重力势能共同决定，通过能量守恒求解重力势能。

破题关键：

• （1） 利用最高点临界条件和机械能守恒求初速度。
• （2） 通过A点受力求速度，结合动能定理计算摩擦力做功。
• （3） 分离点的向心力条件与能量守恒联立求解重力势能。

第（1）题

关键步骤：

1. 最高点临界条件：小球恰好到达B点时，重力提供向心力，有
   $mg = m\frac{v_B^2}{R} \quad \Rightarrow \quad v_B = \sqrt{gR}.$
2. 机械能守恒：从A到B，机械能守恒，初动能转化为末动能和重力势能：
   $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_B^2 + mg \cdot 2R.$
3. 代入求解：将$v_B = \sqrt{gR}$代入得
   $v_0 = \sqrt{5gR}.$

第（2）题

关键步骤：

1. A点受力分析：在A点，轨道对小球的支持力$F_N = 5mg$，由牛顿第二定律：
   $5mg - mg = m\frac{v_A^2}{R} \quad \Rightarrow \quad v_A = 2\sqrt{gR}.$
2. 动能定理：从B到A，重力做正功，摩擦力做负功，动能变化为：
   $mg \cdot 2R - W_f = \frac{1}{2}mv_A^2 - \frac{1}{2}mv_B^2.$
3. 代入数据：已知$v_B = \sqrt{gR}$，$v_A = 2\sqrt{gR}$，解得
   $W_f = \frac{1}{2}mgR.$

第（3）题

关键步骤：

1. 分离点条件：小球与轨道分离时，轨道对小球无作用力，由重力沿轨道法向的分量提供向心力：
   $mg\cos\theta = m\frac{v^2}{R}.$
2. 能量守恒：从A到分离点，动能和重力势能变化满足：
   $\frac{1}{2}mv_A^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgR(1+\cos\theta).$
3. 联立求解：消去$v^2$，解得$\cos\theta = \frac{2}{3}$，重力势能为
   $E_P = mgR(1+\cos\theta) = \frac{5}{3}mgR.$