题目
已知 D (X) =4, D(Y)=9, rho_(XY)=0.5, 则 D(X-Y)= (). A 5 B 13 C 7 D -5
已知 $D
(X) =4$, $D(Y)=9$, $\rho_{XY}=0.5$, 则 $D(X-Y)=$ ().
A 5
B 13
C 7
D -5
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：理解方差和协方差的定义
方差 $D(X)$ 表示随机变量 $X$ 的离散程度，协方差 $Cov(X,Y)$ 表示两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 之间的线性相关程度。相关系数 $\rho_{XY}$ 是协方差与各自方差的比值，即 $\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$。
步骤 2：计算协方差 $Cov(X,Y)$
根据相关系数的定义，可以得到 $Cov(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)D(Y)}$。将已知的 $D(X) = 4$, $D(Y) = 9$, $\rho_{XY} = 0.5$ 代入，得到 $Cov(X,Y) = 0.5 \times \sqrt{4 \times 9} = 0.5 \times 6 = 3$。
步骤 3：计算 $D(X-Y)$
根据方差的性质，$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)$。将已知的 $D(X) = 4$, $D(Y) = 9$, $Cov(X,Y) = 3$ 代入，得到 $D(X-Y) = 4 + 9 - 2 \times 3 = 13 - 6 = 7$。
方差 $D(X)$ 表示随机变量 $X$ 的离散程度，协方差 $Cov(X,Y)$ 表示两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 之间的线性相关程度。相关系数 $\rho_{XY}$ 是协方差与各自方差的比值，即 $\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$。
步骤 2：计算协方差 $Cov(X,Y)$
根据相关系数的定义，可以得到 $Cov(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)D(Y)}$。将已知的 $D(X) = 4$, $D(Y) = 9$, $\rho_{XY} = 0.5$ 代入，得到 $Cov(X,Y) = 0.5 \times \sqrt{4 \times 9} = 0.5 \times 6 = 3$。
步骤 3：计算 $D(X-Y)$
根据方差的性质，$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)$。将已知的 $D(X) = 4$, $D(Y) = 9$, $Cov(X,Y) = 3$ 代入，得到 $D(X-Y) = 4 + 9 - 2 \times 3 = 13 - 6 = 7$。