题目
设总体X sim N(mu , sigma ^2), mu , sigma ^2均未知,选取样本容量n的简单随机样本,样本方差S^2,,求sigma ^2的置信度为1-a的置信区间时,选取的枢轴量为( A. ( (n-1)S^2)div ( sigma ^2) ; B. ( overline X- mu )div ( sigma / sqrt n) ; C. ( overline X- mu )div (S/ sqrt n) ; D. (S^2)div ( (n-1)sigma ^2)
设总体X \sim N(\mu , \sigma ^2), \mu , \sigma ^2均未知,选取样本容量n的简单随机样本,样本方差S^2,,求\sigma ^2的置信度为1-a的置信区间时,选取的枢轴量为(
A. $$ { (n-1)S^2}\div { \sigma ^2}\ \ ; $$
B. $$ { \overline X- \mu }\div { \sigma / \sqrt n}\ \ ; $$
C. $$ { \overline X- \mu }\div {S/ \sqrt n}\ \ ; $$
D. $$ {S^2}\div { (n-1)\sigma ^2}\ \ $$
题目解答
答案
A. $$ { (n-1)S^2}\div { \sigma ^2}\ \ ; $$
解析
步骤 1：理解枢轴量的概念
枢轴量是统计学中用于构造置信区间或进行假设检验的随机变量，它不依赖于未知参数。对于正态分布总体，当均值和方差均未知时，样本方差与总体方差的比值可以作为枢轴量。
步骤 2：确定枢轴量
对于正态分布总体，当均值和方差均未知时，样本方差 \( S^2 \) 与总体方差 \( \sigma^2 \) 的比值乘以自由度 \( n-1 \) 的结果服从卡方分布，即 \( \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \)。因此，\( \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \) 可以作为枢轴量。
步骤 3：选择正确的选项
根据步骤 2 的分析，选项 A \( \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \) 是正确的枢轴量。
枢轴量是统计学中用于构造置信区间或进行假设检验的随机变量，它不依赖于未知参数。对于正态分布总体，当均值和方差均未知时，样本方差与总体方差的比值可以作为枢轴量。
步骤 2：确定枢轴量
对于正态分布总体，当均值和方差均未知时，样本方差 \( S^2 \) 与总体方差 \( \sigma^2 \) 的比值乘以自由度 \( n-1 \) 的结果服从卡方分布，即 \( \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \)。因此，\( \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \) 可以作为枢轴量。
步骤 3：选择正确的选项
根据步骤 2 的分析，选项 A \( \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \) 是正确的枢轴量。