26 判断 (1分) 若(X,Y)在矩形区域内服从均匀分布，则X与Y相互独立. bigcircA.× bigcircB.√

本题考查二维均匀分布以及随机变量相互独立的知识点。解题思路是先明确二维均匀分布的概率密度函数形式，再根据矩形区域的特点求出边缘概率密度函数，最后判断联合概率密度函数是否等于边缘概率密度函数的乘积，以此来确定随机变量$X$与$Y$是否相互独立。

设$(X,Y)$在矩形区域$D=\{(x,y):a\leqslant x\leqslant b,c\leqslant y\leqslant d\}$上服从均匀分布，这里矩形区域与坐标轴对齐。

1. 首先求$(X,Y)$的联合概率密度函数$f(x,y)$：
   根据二维均匀分布的定义，若$(X,Y)$在区域$D$上服从均匀分布，则其联合概率密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{S_D},&(x,y)\in D\\0,&(x,y)\notin D\end{cases}$，其中$S_D$是区域$D$的面积。
   对于矩形区域$D=\{(x,y):a\leqslant x\leqslant b,c\leqslant y\leqslant d\}$，其面积$S_D=(b - a)(d - c)$，所以$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{(b - a)(d - c)},&a\leqslant x\leqslant b,c\leqslant y\leqslant d\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
2. 然后求$X$的边缘概率密度函数$f_X(x)$：
   根据边缘概率密度函数的定义$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$。
   当$a\leqslant x\leqslant b$时，$f_X(x)=\int_{c}^{d}\frac{1}{(b - a)(d - c)}dy=\frac{1}{b - a}\int_{c}^{d}dy=\frac{1}{b - a}[y]_c^d=\frac{1}{b - a}(d - c)\times\frac{1}{d - c}=\frac{1}{b - a}$；
   当$x\lt a$或$x\gt b$时，$f(x,y)=0$，所以$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dy = 0$。
   即$f_X(x)=\begin{cases}\frac{1}{b - a},&a\leqslant x\leqslant b\\0,&\text{其他}\end{cases}$，这表明$X$在区间$[a,b]$上服从均匀分布。
3. 接着求$Y$的边缘概率密度函数$f_Y(y)$：
   根据边缘概率密度函数的定义$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$。
   当$c\leqslant y\leqslant d$时，$f_Y(y)=\int_{a}^{b}\frac{1}{(b - a)(d - c)}dx=\frac{1}{d - c}\int_{a}^{b}dx=\frac{1}{d - c}[x]_a^b=\frac{1}{d - c}(b - a)\times\frac{1}{b - a}=\frac{1}{d - c}$；
   当$y\lt c$或$y\gt d$时，$f(x,y)=0$，所以$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dx = 0$。
   即$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{d - c},&c\leqslant y\leqslant d\\0,&\text{其他}\end{cases}$，这表明$Y$在区间$[c,d]$上服从均匀分布。
4. 最后判断$X$与$Y$是否相互独立：
   计算$f_X(x)\cdot f_Y(y)$，当$a\leqslant x\leqslant b$且$c\leqslant y\leqslant d$时，$f_X(x)\cdot f_Y(y)=\frac{1}{b - a}\cdot\frac{1}{d - c}=\frac{1}{(b - a)(d - c)}=f(x,y)$；当$(x,y)$不在矩形区域$D$内时，$f_X(x)\cdot f_Y(y)=0 = f(x,y)$。
   所以$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$，根据随机变量相互独立的定义可知$X$与$Y$相互独立。
   在一般情况下，若题目未明确矩形是否倾斜，通常默认矩形与坐标轴对齐，所以该命题正确。