若x服从()分布,则X具有'无记忆性',即对任意实数st有P(X>s+t mid X>s) =P(X>t)。A. 泊松分布B. 二项式分布C. 指数分布D. 正态分布

本题考查的知识点是不同概率分布的性质，解题的关键在于明确各个选项所代表的分布是否具有“无记忆性”，即判断对于任意实数$s,t$，是否满足$P\{X > s + t \mid X > s\} = P\{X > t\}$。

选项A：泊松分布

泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在一定时间或空间内随机事件发生的次数。设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，其概率质量函数为$P(X = k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，$k = 0,1,2,\cdots$。
根据条件概率公式$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，对于$P\{X > s + t \mid X > s\}$，这里$s,t$为实数，由于泊松分布是离散的，我们考虑$s,t$为非负整数的情况。
$P\{X > s + t \mid X > s\}=\frac{P(X > s + t)}{P(X > s)}$
$P(X > s)=\sum_{k = s + 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k = s + 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}$
$P(X > s + t)=\sum_{k = s + t+ 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k = s + t+ 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}$
$P\{X > s + t \mid X > s\}=\frac{e^{-\lambda}\sum_{k = s + t+ 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}}{e^{-\lambda}\sum_{k = s + 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}}\neq P(X > t)=\sum_{k = t + 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$
所以泊松分布不具有无记忆性。

选项B：二项式分布

二项式分布是$n$个独立的成功或失败试验中成功的次数的离散概率分布，设随机变量$X\sim B(n,p)$，其概率质量函数为$P(X = k)=C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，$k = 0,1,\cdots,n$。
同样根据条件概率公式$P\{X > s + t \mid X > s\}=\frac{P(X > s + t)}{P(X > s)}$，这里$s,t$为实数，考虑$s,t$为非负整数且$s + t\leq n$。
$P(X > s)=\sum_{k = s + 1}^{n}C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$
$P(X > s + t)=\sum_{k = s + t+ 1}^{n}C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$
$P\{X > s + t \mid X > s\}=\frac{\sum_{k = s + t+ 1}^{n}C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}}{\sum_{k = s + 1}^{n}C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}}\neq P(X > t)=\sum_{k = t + 1}^{n}C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$
所以二项式分布不具有无记忆性。

选项C：指数分布

设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\geq0\\0,&x < 0\end{cases}$，分布函数为$F(x)=\begin{cases}1 - e^{-\lambda x},&x\geq0\\0,&x < 0\end{cases}$。
根据条件概率公式$P\{X > s + t \mid X > s\}=\frac{P(X > s + t)}{P(X > s)}$。
因为$P(X > x)=1 - F(x)=e^{-\lambda x}$（$x\geq0$），所以$P(X > s + t)=e^{-\lambda(s + t)}$，$P(X > s)=e^{-\lambda s}$。
则$P\{X > s + t \mid X > s\}=\frac{e^{-\lambda(s + t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X > t)$
所以指数分布具有无记忆性。

选项D：正态分布

正态分布是一种连续概率分布，设随机变量$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，$-\infty<x<\infty$。
根据条件概率公式$P\{X > s + t \mid X > s\}=\frac{P(X > s + t)}{P(X > s)}$。
$P(X > s)=\int_{s}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx$，$P(X > s + t)=\int_{s + t}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx$
$P\{X > s + t \mid X > s\}=\frac{\int_{s + t}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx}{\int_{s}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx}\neq P(X > t)=\int_{t}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx$
所以正态分布不具有无记忆性。