5.（单选题，6.7分）若齐次方程组}lambda x_(1)+x_(2)+x_(3)=0x_(1)+lambda x_(2)+x_(3)=0x_(1)+x_(2)+lambda x_(3)=0有非零解的充分必要条件是λ=（）.A. λ=-2B. λ=3C. λ=1或λ=-2D. λ=1

本题考查齐齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，解题思路是根据齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，先写出该方程组的系数行列式，再计算行列式的值，最后求解关于$\lambda$的方程得到结果。

步骤一：写出方程组的系数行列式

对于齐次线性方程组$\begin{cases}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=0\\x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=0\end{cases}$，其系数行列式$D$为：
\(D = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}\)

步骤二：计算系数行列式$D$的值

根据三阶行列式的计算公式\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{131} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32 & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a二行二列到三列元素构成的二阶行列式 & 选项三行二列到三列构成的二阶行列式 \\ \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} 选项二行一列和三列构成的二阶行列式 & 选项三行一列和三列构成的二阶行列式 \\ \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} 选项二行一列和二列构成的二阶行列式 & 选项三行一列和二列构成的二阶行列式 \\ \end{vmatrix}\)，对$D$进行计算：
$\begin{align*}D&=\lambda\begin\begin{vmatrix}\lambda & 1 \\1 & \lambda\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1 & 1 \\1 & \lambda\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1 & \lambda \\1 & 1\end{vmatrix}\\&=\lambda(\lambda^2 - 1) - (\lambda - 1) + (1 - \lambda)\\&=\lambda^3 - \lambda - \lambda + 1 + 1 - \lambda\\&=\lambda^3 - 3\lambda + 2\end{align*}$
对$\lambda^3 - 3\lambda + 2$进行因式分解：
$\begin{align*}\lambda^3 - 3\lambda + 2&=\lambda^3 - \lambda - 2\lambda + 2\\&=\lambda(\lambda^2 - 1) - 2(\lambda - 1)\\&=\lambda(\lambda - 1)(\lambda + 1) - 2(\lambda - 1)\\&= (\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda - 2)\\&= (\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda + 2)\\&= (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)\end{align*}$

步骤三：求解关于$\lambda$的方程

因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是$D = 0$，即$(\lambda - 1)^2(\lambda + 2) = 0$，
则$\lambda - 1 = 0$或$\lambda + 2 = 0$，
解得$\lambda = 1$或$\lambda = -2$。

所以该齐次方程组有非零解的充分必要条件是$\lambda = 1$或$\lambda = -2$。