题目

现收集了92组合金钢中的碳含量x及其强度y的-|||-数据,且求得:-|||-overline (x)=0.1255 hat (y)=45.7989 _(xx)=0.3019 _(xy)=-|||-.5126, _(yy)=2941.03-|||-(1)求y与x的相关系数;-|||-(2)求y关于x的一元线性回归方程;-|||-(3)列出对方程作显著性检验的方差分析表

$\begin {aligned} &现收集了92组合金钢中的碳含量 x 及其强度y 的\\&数据, 且求得:\\ &\bar{x}=0.1255, \bar{y}=45.7989, L_{x x}=0.3019, L_{x y}=\\&26.5126, L_{y y}=2941.03\\ &（1）求 y 与 x 的相关系数;\\ &（2）求 y 关于 x 的一元线性回归方程;\\ &（3）列出对方程作显著性检验的方差分析表\\&。 \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &（1）求 y 与 x 的相关系数 \\ &相关系数 r 的计算公式为： \\ &r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \times S_{yy}}} \\ &其中，已知： \\ &S_{xx} = 0.3019, {{\quad}} S_{xy} = 26.5126, {{\quad}} S\\&_{yy} = 2941.03 \\ &将数值代入公式： \\ &r = \frac{26.5126}{\sqrt{0.3019 \times 2941.03}} \\ &首先计算分母： \\ &0.3019 \times 2941.03 = 888.0 \\ &然后开平方： \\ &\sqrt{888.0} = 29.8 \\ &最后计算相关系数： \\ &r = \frac{26.5126}{29.8} \approx 0.89 \\ &相关系数 r 为 0.89 \\ &（2）求 y 关于 x 的一元线性回归方程 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &一元线性回归方程的形式为： \\ &y = a + b x \\ &其中，回归系数 b 和截距 a 的计算公式为： \\ &b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \\ &a = \bar{y} - b \times \bar{x} \\ &已知： \\ &S_{xy} = 26.5126, {{\quad}} S_{xx} = 0.3019, {{\quad}} \bar{x} = 0\\&.1255, {{\quad}} \bar{y} = 45.7989 \\ &首先计算回归系数 b ： \\ &b = \frac{26.5126}{0.3019} \approx 87.78 \\ &然后计算截距 a ： \\ &a = 45.7989 - 87.78 \times 0.1255 \\ &87.78 \times 0.1255 \approx 11.03 \\ &a = 45.7989 - 11.03 = 34.7689 \\ &因此，回归方程为： \end {aligned}$ $\begin {aligned} &y = 34.7689 + 87.78 \, x \\ &（3）列出对方程作显著性检验的方差分析表 \\ &首先，计算回归平方和 SSR 、误差平方和 S\\&SE 和总平方和 SST ： \\ &SSR = \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}} = \frac{26.5126^2}{0.3019} = \\&\frac{702.78}{0.3019} \approx 2328.57 \\ &SSE = S_{yy} - SSR = 2941.03 - 2328.57 =\\& 612.46 \\ &SST = S_{yy} = 2941.03 \\ &接下来，确定自由度： \\ & 回归：1 \\ & 误差： n - 2 = 92 - 2 = 90 \\ & 总计： n - 1 = 91 \\ &计算均方： \\ &MSR = \frac{SSR}{1} = 2328.57 \\ &MSE = \frac{SSE}{90} = \frac{612.46}{90} \approx 6.805 \\ &计算 F 统计量： \\ &F = \frac{MSR}{MSE} = \frac{2328.57}{6.805} \approx 341.7 \\ &综上，方差分析表如下： \\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline {来源} & {平方和} & {自由度} & {均方} & {F} \\ \hline {回归} & 2328.57 & 1 & 2328.57 & 341.7 \\ \hline {误差} & 612.46 & 90 & 6.805 & - \\ \hline {总计} & 2941.03 & 91 & - & - \\ \hline \end{array}\\ \end {aligned}$