设总体 X sim N(mu, sigma^2)，其中 sigma^2 已知，对给定的样本观测值，总体均值 mu 的置信区间长度 l，与置信水平 1-alpha 的关系是（）A. 当 1-alpha 变小时，l 变大B. 当 1-alpha 与 l 的关系不能确定C. 当 1-alpha 变小时，l 不变D. 当 1-alpha 变小时，l 变小

本题考查正态总体均值的置信区间以及置信区间长度与置信水平的关系。解题的关键在于先根据已知条件求出总体均值$\mu$的置信区间，进而得到置信区间长度的表达式，再分析其与置信水平$1 - \alpha$的关系。

步骤一：求总体均值$\mu$的置信区间

已知总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中$\sigma^2$已知，根据正态分布的性质，样本均值$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，则$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0, 1)$。
对于给定的置信水平$1 - \alpha$，存在$z_{\frac{\alpha}{2}}$使得$P\{ -z_{\frac{\alpha}{2}} < \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} < z_{\frac{\alpha}{2}} \} = 1 - \alpha$。
对不等式$-z_{\frac{\alpha}{2}} < \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} < z_{\frac{\alpha}{2}}$进行变形：
$\begin{align*}-z_{\frac{\alpha}{2}} &< \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \\-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} &< \overline{X} - \mu \\\mu &< \overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\end{align*}$
$\begin{align*}\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} &< z_{\frac{\alpha}{2}} \\\overline{X} - \mu &< z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \\\mu &> \overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\end{align*}$
所以总体均值$\mu$的置信水平为$1 - \alpha$的置信区间为$(\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$。

步骤二：求置信区间长度$l$的表达式

置信区间长度$l$等于置信区间上限减去下限，即：
$l = (\overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) - (\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) = 2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

步骤三：分析$l$与$1 - \alpha$的关系

当$1 - \alpha$变小时，$\alpha$变大，那么$\frac{\alpha}{2}$也变大。
因为标准正态分布的分位数$z_{\frac{\alpha}{2}}$是关于$\frac{\alpha}{2}$的单调递增函数，所以当$\frac{\alpha}{2}$变大时，$z_{\frac{\alpha}{2}}$变大。
又因为$\sigma$和$n$是固定的，所以$2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$是常数，根据$l = 2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$可知，当$z_{\frac{\alpha}{2}}$变小时，$l$变小。