11 单选 (4分)设函数 (x)=(x-2)|x-2|, 则f`(x)在 x=2 处-|||-A.不连续,可导-|||-B.不连续,不可导-|||-C.连续,可导-|||-D.连续,不可导

本题考查函数在某点处的连续性与可导性，解题思路是先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，将函数写成分段函数的形式，再分别求出函数在$x = 2$处的左导数、右导数，判断函数在$x = 2$处是否可导，最后通过计算函数在$x = 2$处的极限，判断函数在$x = 2$处是否连续。

步骤一：将函数写成分段函数的形式

已知$f(x)=(x - 2)|x - 2|$，根据绝对值的性质，当$x - 2\geq0$，即$x\geq2$时，$|x - 2| = x - 2$；当$x - 2\lt0$，即$x\lt2$时，$|x - 2| = -(x - 2)$。
所以$f(x)=\begin{cases}(x - 2)^2, & x\geq2 \\ -(x - 2)^2, & x\lt2\end{cases}$。

步骤二：求函数在$x = 2$处的左导数$f'_{-}(2)$

根据左导数的定义$f'_{-}(2)=\lim\limits_{x\to2^{-}}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$，因为$x\to2^{-}$时，$x\lt2$，所以$f(x)=-(x - 2)^2$，且$f(2)=(2 - 2)^2 = 0$，则：
$\begin{align*}f'_{-}(2)&=\lim\limits_{x\to2^{-}}\frac{-(x - 2)^2 - 0}{x - 2}\\&=\lim\limits_{x\to2^{-}}\frac{-(x - 2)(x - 2)}{x - 2}\\&=\lim\limits_{x\to2^{-}}-(x - 2)\\&=- (2 - 2)\\&= 0\end{align*}$

步骤三：求函数在$x = 2$处的右导数$f'_{+}(2)$

根据右导数的定义$f'_{+}(2)=\lim\limits_{x\to2^{+}}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$，因为$x\to2^{+}$时，$x\gt2$，所以$f(x)=(x - 2)^2$，且$f(2)=(2 - 2)^2 = 0$，则：
$\begin{align*}f'_{+}(2)&=\lim\limits_{x\to2^{+}}\frac{(x - 2)^2 - 0}{x - 2}\\&=\lim\limits_{x\to2^{+}}\frac{(x - 2)(x - 2)}{x - 2}\\&=\lim\limits_{x\to2^{+}}(x - 2)\\&= 2 - 2\\&= 0\end{align*}$

步骤四：判断函数在$x = 2$处是否可导

因为$f'_{-}(2)=f'_{+}(2)=0$，所以函数$f(x)$在$x = 2$处可导，且$f'(2)=0$。

步骤五：求$f'(x)$的表达式

当$x\gt2$时，$f(x)=(x - 2)^2$，对其求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$f'(x)=2(x - 2)$；
当$x\lt2$时，$f(x)=-(x - 2)^2$，对其求导可得$f'(x)=-2(x - 2)$。
所以$f'(x)=\begin{cases}2(x - 2), & x\gt2 \\ 0, & x = 2 \\ -2(x - 2), & x\lt2\end{cases}$。

步骤六：判断$f'(x)$在$x = 2$处是否连续

计算$\lim\limits_{x\to2^{-}}f'(x)=\lim\limits_{x\to2^{-}}[-2(x - 2)]=-2\times(2 - 2)=0$，$\lim\limits_{x\to2^{+}}f'(x)=\lim\limits_{x\to2^{+}}[2(x - 2)]=2\times(2 - 2)=0$，且$f'(2)=0$。
因为$\lim\limits_{x\to2^{-}}f'(x)=\lim\limits_{x\to2^{+}}f'(x)=f'(2)$，所以$f'(x)$在$x = 2$处连续。