题目
设某厂有400台同型机器,各台机器发生故障的概率均为 0,02,假如各台机器相互独立工作试利用中心极限定理,求机器出现故障的台数不少于 2台的概率的近似值.
设某厂有400台同型机器,各台机器发生故障的概率均为 0,02,假如各台机器相互独立工作试利用中心极限定理,求机器出现故障的台数不少于 2台的概率的近似值.
题目解答
答案
答案:0.9938.知识点:5.2中心极限定理参考页:P116 学习目标:3难度系数:2提示一:5.2中心极限定理提示二:无提示三:无提示四(同题解)题型:计算题题解:设400台同型机器中出现故障的个数为随机变量 X ,则X ~ B(400, 0.02),由二项分布的性质知 E(X) 8, D(X) 7.84.依题意,机器出现故障的台数不少于 2台的概率为X 8 1 8P{X 2} 1 P(X 1) 1 P 1 2.5 0.9938.J7.84 V7.84
解析
步骤 1：定义随机变量
设400台同型机器中出现故障的个数为随机变量 X，则X服从二项分布，即X ~ B(400, 0.02)。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望E(X) = n * p = 400 * 0.02 = 8，方差D(X) = n * p * (1 - p) = 400 * 0.02 * 0.98 = 7.84。
步骤 3：利用中心极限定理进行近似
由于n较大，根据中心极限定理，X近似服从正态分布N(8, 7.84)。因此，机器出现故障的台数不少于2台的概率为P(X ≥ 2)。为了计算这个概率，我们首先计算P(X < 2)的值，然后用1减去这个值。
步骤 4：计算P(X < 2)
P(X < 2) = P(X ≤ 1) = P(Z ≤ (1 - 8) / √7.84) = P(Z ≤ -2.5)。其中Z是标准正态分布的随机变量。
步骤 5：查标准正态分布表
查标准正态分布表，得到P(Z ≤ -2.5) ≈ 0.0062。
步骤 6：计算P(X ≥ 2)
P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.0062 = 0.9938。
设400台同型机器中出现故障的个数为随机变量 X，则X服从二项分布，即X ~ B(400, 0.02)。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望E(X) = n * p = 400 * 0.02 = 8，方差D(X) = n * p * (1 - p) = 400 * 0.02 * 0.98 = 7.84。
步骤 3：利用中心极限定理进行近似
由于n较大，根据中心极限定理，X近似服从正态分布N(8, 7.84)。因此，机器出现故障的台数不少于2台的概率为P(X ≥ 2)。为了计算这个概率，我们首先计算P(X < 2)的值，然后用1减去这个值。
步骤 4：计算P(X < 2)
P(X < 2) = P(X ≤ 1) = P(Z ≤ (1 - 8) / √7.84) = P(Z ≤ -2.5)。其中Z是标准正态分布的随机变量。
步骤 5：查标准正态分布表
查标准正态分布表，得到P(Z ≤ -2.5) ≈ 0.0062。
步骤 6：计算P(X ≥ 2)
P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.0062 = 0.9938。