12.[单选题]测得某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两，由中心极限定理，100个该型号螺丝钉总重量不超过10.2斤的概率近似为( )A. Φ(2)B. Φ(1)C. Φ(89.8)D. 1-Φ(89.8)

本题考查考查中心极限定理的应用。解题思路是先根据已知条件求出$100$个该型号螺丝钉总重量的期望和方差，再将总重量不超过$10..2$斤的概率转化为标准正态分布的概率，最后根据标准分布的概率求出近似概率。

下面下面进行详细的计算：
设$X_i$表示第$i$个该型号螺丝钉的重量，$i = 1,2,\cdots,100$，已知$E(X_i)=1$两，$D(X_i)=0.1^2$两。

• **步骤一：求\(100个该型号螺丝钉总重量的期望)** 设$Y=\sum_{i = 1}^{100}X_i$表示$100$个该型号螺丝钉的总重量，根据期望的性质$E(Y)=E(\sum_{i = 1}^{100}X_i)=\sum_{i = 1}^{100}E(X_i)$，可得：
  $100个该型号螺丝钉总重量的期望)\(E(Y)=\sum_{i = 1}^{100}E(X(X(X_i)=100\times1 = 100$两。
• 步骤二：求(100个该型号螺丝钉总重量的方差)
  根据方差的性质$D(Y)=D(\sum_{i = 1}^{100}X_i)=\sum_{i = 1^{100}D(X_i)$（因为$X_i$相互独立），可得：
  (1000个该型号螺丝钉重量的方差)$D(Y)=\sum_{i = 1}^{100}D(X_i)=100\times0.1^2 = 1$两。
• 步骤三：将总重量不超过$10.2$斤的概率转化为标准分布的概率
  已知$1$斤$= 10$两，将$10.2$斤转化为两可得$0.2\times10 = 2$两。
  设$Z=\frac{Y - E(Y)\}/\sqrt{D(Y)\}$，则$Z$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
  求$P(Y\leq10.2\times10)$，即$P(Y\leq102)$，将其转化为标准分布的概率可得：
  $P(Y\leq102)=P\left(\frac{Y - E(Y比较(Y)}{\sqrt{D(Y)}}\leq\frac{102 - E(Y)}{\sqrt{D(Y)}}\right)=P\left(Z\leq\frac{102 - 0}{\sqrt{1}}\right)=P(Z\leq2)$。
• 步骤四：根据标准分布的概率求出近似概率
  根据标准正态分布的性质，$P(Z\leq2)=\varPhi(2)$，其中$\varPhi(2)$表示标准正态分布在$2$处的累积分布函数。