设 X_1, ..., X_n 为正态总体 N(mu, sigma^2) 的样本，记 S^2 为样本方差，则下列选项中正确的是A. ((n-1)S^2)/(sigma^2) sim chi^2(n-1)B. ((n-1)S^2)/(sigma^2) sim chi^2(n)C. (n-1)S^2 sim chi^2(n-1)D. (S^2)/(sigma^2) sim chi^2(n-1)

本题考查正态总体样本方差的分布这一知识点。解题的关键在于牢记正态总体样本方差与卡方分布之间的重要定理。

已知$X_1, \cdots, X_n$为正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的样本，样本方差$S^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$，其中$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$。

根据数理统计中的重要定理：设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，则统计量$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{\sigma^{2}}$服从自由度为$n - 1$的卡方分布，即$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$。

下面对各选项进行分析：

• 选项A：由上述定理可知$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，该选项正确。
• 选项B：自由度应该是$n - 1$而不是$n$，所以$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}$不服从$\chi^{2}(n)$，该选项错误。
• 选项C：$(n - 1)S^{2}$没有除以$\sigma^{2}$，不满足卡方分布的形式，所以$(n - 1)S^{2}$不服从$\chi^{2}(n - 1)$，该选项错误。
• 选项D：$\frac{S^{2}}{\sigma^{2}}$没有乘以$n - 1$，不满足卡方分布的形式，所以$\frac{S^{2}}{\sigma^{2}}$不服从$\chi^{2}(n - 1)$，该选项错误。