某人经营一饮料店，使用A,B两种设备.令X与Y分别为A与B两设备使用的时间比例.设(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=} (2)/(3)(x+2y), & 0 leq x leq 1, 0 leq y leq 1 0, & (其他)

本题考查二维随机变量边缘概率密度的计算。解题思路是根据边缘概率密度的定义，对于二维随机变量$(X,Y)$，$X$的边缘概率密度$f_X(x)$是通过对联合概率密度$f(x,y)$关于$y$在其取值范围内进行积分得到的。

已知联合概率密度$f(x,y)=\begin{cases} \frac{2}{3}(x + 2y), & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。

1. 当$0\leq x\leq 1$时：
   根据边缘概率密度公式$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$，由于$f(x,y)$在$0\leq y\leq 1$时为$\frac{2}{3}(x + 2y)$，在其他$y$取值时为$0$，所以$f_X(x)=\int_{0}^{1}\frac{2}{3}(x + 2y)dy$。
   根据积分的运算法则$\int_{a}^{b}(u(y)+v(y))dy=\int_{a}^{b}u(y)dy+\int_{a}^{b}v(y)dy$，可得：
   $f_X(x)=\frac{2}{3}\int_{0}^{1}(x + 2y)dy=\frac{2}{3}(\int_{0}^{1}xdy+\int_{0}^{1}2ydy)$。
   因为$x$与$y$无关，所以$\int_{0}^{1}xdy=x\int_{0}^{1}dy$，而$\int_{0}^{1}dy=y\big|_{0}^{1}=1 - 0 = 1$，则$x\int_{0}^{1}dy=x\times1=x$。
   又因为$\int_{0}^{1}2ydy=2\times\frac{1}{2}y^2\big|_{0}^{1}=y^2\big|_{0}^{1}=1^2 - 0^2 = 1$。
   所以$f_X(x)=\frac{2}{3}(x + 1)$。
2. 当$x\lt0$或$x\gt1$时：
   由于$f(x,y)=0$，那么$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy = 0$。

综上，$X$的边缘概率密度$f_X(x)=\begin{cases} \frac{2}{3}(x + 1), & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。