题目
设随机变量X和Y是相互独立的随机变量且都服从正态分布，X～N（3，4），Y～N（2，9），则D（3X+4Y）=___．.
设随机变量X和Y是相互独立的随机变量且都服从正态分布，X～N（3，4），Y～N（2，9），则D（3X+4Y）=___．
.题目解答
答案
因为X和Y相互独立，所以Cov（X，Y）=0
D（3X+4Y）=9D（X）+16D（Y）=36+144=180
. D（3X+4Y）=9D（X）+16D（Y）=36+144=180
解析
步骤 1：确定随机变量X和Y的分布参数
给定X～N（3，4），Y～N（2，9），其中N表示正态分布，第一个参数是均值，第二个参数是方差。因此，X的均值为3，方差为4；Y的均值为2，方差为9。
步骤 2：计算D（3X+4Y）
由于X和Y是相互独立的随机变量，根据方差的性质，D（aX+bY）=a^2D（X）+b^2D（Y），其中a和b是常数。因此，D（3X+4Y）=3^2D（X）+4^2D（Y）=9D（X）+16D（Y）。
步骤 3：代入X和Y的方差
将X和Y的方差代入上式，得到D（3X+4Y）=9×4+16×9=36+144=180。
给定X～N（3，4），Y～N（2，9），其中N表示正态分布，第一个参数是均值，第二个参数是方差。因此，X的均值为3，方差为4；Y的均值为2，方差为9。
步骤 2：计算D（3X+4Y）
由于X和Y是相互独立的随机变量，根据方差的性质，D（aX+bY）=a^2D（X）+b^2D（Y），其中a和b是常数。因此，D（3X+4Y）=3^2D（X）+4^2D（Y）=9D（X）+16D（Y）。
步骤 3：代入X和Y的方差
将X和Y的方差代入上式，得到D（3X+4Y）=9×4+16×9=36+144=180。