题目
求指导本题解题过程，谢谢您！1. 设总体X的概率密度为 f(x)= ^sqrt {theta -1),0leqslant xleqslant 1 0=0.5 则θ的矩估计值为(). ()-|||-(单选题本题3分)-|||-得分:3-|||-A 0.5-|||-B 1-|||-C 1.5-|||-D 2
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体X的期望值
总体X的概率密度函数为$f(x) = \sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta} - 1}$，其中$0 < x < 1$，$\theta > 0$。根据矩估计法，我们需要计算总体X的期望值$E(X)$。
$E(X) = \int_{0}^{1} x f(x) dx = \int_{0}^{1} x \sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta} - 1} dx = \sqrt{\theta} \int_{0}^{1} x^{\sqrt{\theta}} dx$
步骤 2：计算积分
$E(X) = \sqrt{\theta} \int_{0}^{1} x^{\sqrt{\theta}} dx = \sqrt{\theta} \left[ \frac{x^{\sqrt{\theta} + 1}}{\sqrt{\theta} + 1} \right]_{0}^{1} = \sqrt{\theta} \left( \frac{1}{\sqrt{\theta} + 1} \right) = \frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1}$
步骤 3：求解矩估计值
根据矩估计法，总体X的期望值$E(X)$等于样本均值$\overline{x}$。因此，我们有$\frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1} = \overline{x}$。解这个方程，得到$\sqrt{\theta} = \frac{\overline{x}}{1 - \overline{x}}$。因此，$\theta = \left( \frac{\overline{x}}{1 - \overline{x}} \right)^2$。
步骤 4：计算样本均值
样本值为${x}_{1}=0.45$，${x}_{2}=0.55$，${x}_{3}=0.5$，${x}_{4}=0.5$。因此，样本均值$\overline{x} = \frac{0.45 + 0.55 + 0.5 + 0.5}{4} = 0.5$。
步骤 5：计算矩估计值
将样本均值$\overline{x} = 0.5$代入$\theta = \left( \frac{\overline{x}}{1 - \overline{x}} \right)^2$，得到$\theta = \left( \frac{0.5}{1 - 0.5} \right)^2 = 1$。
总体X的概率密度函数为$f(x) = \sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta} - 1}$，其中$0 < x < 1$，$\theta > 0$。根据矩估计法，我们需要计算总体X的期望值$E(X)$。
$E(X) = \int_{0}^{1} x f(x) dx = \int_{0}^{1} x \sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta} - 1} dx = \sqrt{\theta} \int_{0}^{1} x^{\sqrt{\theta}} dx$
步骤 2：计算积分
$E(X) = \sqrt{\theta} \int_{0}^{1} x^{\sqrt{\theta}} dx = \sqrt{\theta} \left[ \frac{x^{\sqrt{\theta} + 1}}{\sqrt{\theta} + 1} \right]_{0}^{1} = \sqrt{\theta} \left( \frac{1}{\sqrt{\theta} + 1} \right) = \frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1}$
步骤 3：求解矩估计值
根据矩估计法，总体X的期望值$E(X)$等于样本均值$\overline{x}$。因此，我们有$\frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1} = \overline{x}$。解这个方程，得到$\sqrt{\theta} = \frac{\overline{x}}{1 - \overline{x}}$。因此，$\theta = \left( \frac{\overline{x}}{1 - \overline{x}} \right)^2$。
步骤 4：计算样本均值
样本值为${x}_{1}=0.45$，${x}_{2}=0.55$，${x}_{3}=0.5$，${x}_{4}=0.5$。因此，样本均值$\overline{x} = \frac{0.45 + 0.55 + 0.5 + 0.5}{4} = 0.5$。
步骤 5：计算矩估计值
将样本均值$\overline{x} = 0.5$代入$\theta = \left( \frac{\overline{x}}{1 - \overline{x}} \right)^2$，得到$\theta = \left( \frac{0.5}{1 - 0.5} \right)^2 = 1$。