某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为 0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，则他乘汽车的概率是________。

考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，需要结合全概率公式进行计算。

解题核心思路：

1. 确定事件关系：选择交通工具（飞机、火车、汽车）是互斥且完备的事件，迟到是结果事件。
2. 计算总迟到概率：利用全概率公式，将三种交通工具导致迟到的概率加权求和。
3. 应用贝叶斯定理：在已知迟到的情况下，计算选择汽车的后验概率。

破题关键点：

• 正确区分先验概率（选择交通工具的概率）和条件概率（迟到的概率）。
• 明确贝叶斯公式的分子为汽车且迟到的联合概率，分母为总迟到概率。

设事件 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 分别表示乘飞机、火车、汽车，事件 $B$ 表示迟到。已知：

• 先验概率：$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}$
• 条件概率：$P(B|A_1) = 0.1$，$P(B|A_2) = 0.2$，$P(B|A_3) = 0.3$

步骤1：计算总迟到概率 $P(B)$

根据全概率公式：
$\begin{aligned}P(B) &= P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) \\&= \frac{1}{3} \times 0.1 + \frac{1}{3} \times 0.2 + \frac{1}{3} \times 0.3 \\&= \frac{0.1 + 0.2 + 0.3}{3} = \frac{0.6}{3} = 0.2\end{aligned}$

步骤2：应用贝叶斯定理求 $P(A_3|B)$

根据贝叶斯公式：
$\begin{aligned}P(A_3|B) &= \frac{P(A_3)P(B|A_3)}{P(B)} \\&= \frac{\frac{1}{3} \times 0.3}{0.2} \\&= \frac{0.1}{0.2} = 0.5\end{aligned}$