2.已知矩阵A=}1&2&52&a&71&3&2,且r(AB)=2,则a=(). (A.)5; (B.)-5; (C.)1; (D.)-1.

为了确定 $a$ 的值，使得 $AB$ 的秩为 2，我们需要遵循以下步骤： 1. 计算矩阵乘积 $AB$。 2. 确定 $AB$ 的秩，并找到使秩为 2 的 $a$ 的值。 首先，我们计算矩阵乘积 $AB$。矩阵 $A$ 为： \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & a & 7 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \] 矩阵 $B$ 为： \[ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 5 \end{bmatrix} \] 乘积 $AB$ 的计算如下： \[ AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 3 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 0 & 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 5 \cdot 5 \\ 2 \cdot 1 + a \cdot 0 + 7 \cdot 3 & 2 \cdot 0 + a \cdot 2 + 7 \cdot 0 & 2 \cdot 4 + a \cdot 3 + 7 \cdot 5 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 5 \end{bmatrix} \] \[ AB = \begin{bmatrix} 1 + 0 + 15 & 0 + 4 + 0 & 4 + 6 + 25 \\ 2 + 0 + 21 & 0 + 2a + 0 & 8 + 3a + 35 \\ 1 + 0 + 6 & 0 + 6 + 0 & 4 + 9 + 10 \end{bmatrix} \] \[ AB = \begin{bmatrix} 16 & 4 & 35 \\ 23 & 2a & 43 + 3a \\ 7 & 6 & 23 \end{bmatrix} \] 接下来，我们需要确定 $AB$ 的秩。矩阵的秩是其非零子式的最大阶数。由于 $r(AB) = 2$，矩阵 $AB$ 的行列式必须为零。矩阵 $AB$ 的行列式为： \[ \det(AB) = \begin{vmatrix} 16 & 4 & 35 \\ 23 & 2a & 43 + 3a \\ 7 & 6 & 23 \end{vmatrix} \] 我们沿第一行展开行列式： \[ \det(AB) = 16 \begin{vmatrix} 2a & 43 + 3a \\ 6 & 23 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 23 & 43 + 3a \\ 7 & 23 \end{vmatrix} + 35 \begin{vmatrix} 23 & 2a \\ 7 & 6 \end{vmatrix} \] 计算每个 2x2 行列式： \[ \begin{vmatrix} 2a & 43 + 3a \\ 6 & 23 \end{vmatrix} = 2a \cdot 23 - 6 \cdot (43 + 3a) = 46a - 258 - 18a = 28a - 258 \] \[ \begin{vmatrix} 23 & 43 + 3a \\ 7 & 23 \end{vmatrix} = 23 \cdot 23 - 7 \cdot (43 + 3a) = 529 - 301 - 21a = 228 - 21a \] \[ \begin{vmatrix} 23 & 2a \\ 7 & 6 \end{vmatrix} = 23 \cdot 6 - 7 \cdot 2a = 138 - 14a \] 将这些代回行列式表达式： \[ \det(AB) = 16(28a - 258) - 4(228 - 21a) + 35(138 - 14a) \] \[ \det(AB) = 448a - 4128 - 912 + 84a + 4830 - 490a \] \[ \det(AB) = (448a + 84a - 490a) + (-4128 - 912 + 4830) \] \[ \det(AB) = 42a - 210 \] 将行列式设为零： \[ 42a - 210 = 0 \] \[ 42a = 210 \] \[ a = 5 \] 因此，$a$ 的值是 $\boxed{5}$。正确选项是 $\boxed{A}$。