题目
bigcirc -|||-1如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为l,圆管长度为20l。一质量为m=(1)/(3)M 的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。
如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为l,圆管长度为20l。一质量为$m=\frac{1}{3}M$ 的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。
题目解答
答案
解：（1）小球第一次与圆盘碰撞前做自由落体运动，设两者第一次碰撞前瞬间小球的速度大小为v1，由速度—位移公式得：
2gl=${v}_{1}^{2}$
解得：v1=$\sqrt{2gl}$
设第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度分别为vm1、vM1，小球与圆盘发生弹性碰撞，以竖直向下为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律得：
mv1=mvm1+MvM1
$\frac{1}{2}$${mv}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$${mv}_{m1}^{2}$+$\frac{1}{2}$${Mv}_{M1}^{2}$
已知：$m=\frac{1}{3}M$
联立解得：vm1=$-\frac{\sqrt{2gl}}{2}$，vM1=$\frac{\sqrt{2gl}}{2}$
故第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小均为$\frac{\sqrt{2gl}}{2}$，小球速度方向为竖直向上，圆盘速度方向为竖直向下。
（2）第一次碰后小球做竖直上抛运动。因圆盘所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等，故圆盘竖直向下做匀速直线运动，当小球的速度与圆盘的速度相同时，两者间距离最远。
设第一次碰后小球经过时间t与圆盘的速度相同，两者间的最远距离为sm，以竖直向下为正方向，根据运动学公式得：
vM1=vm1+gt
解得：t=$\sqrt{\frac{2l}{g}}$
sm=vM1t-（vm1t+$\frac{1}{2}$gt2）
解得：sm=l。
（3）第一次碰撞后到第二次碰撞时，两者位移相同，设此过程经历的时间为t1，圆盘的位移为x1，以竖直向下为正方向，根据运动学公式得：
x1=vM1t1=vm1t1+$\frac{1}{2}$${gt}_{1}^{2}$
解得：t1=2$\sqrt{\frac{2l}{g}}$，x1=2l
第二次碰撞前瞬间小球的速度为：v2=vm1+gt1=$\frac{3\sqrt{2gl}}{2}$
设第二次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度分别为vm2、vM2，以竖直向下为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律得：
mv2+MvM1=mvm2+MvM2
$\frac{1}{2}$${mv}_{2}^{2}$+$\frac{1}{2}$${Mv}_{M1}^{2}$=$\frac{1}{2}$${mv}_{m2}^{2}$+$\frac{1}{2}$${Mv}_{M2}^{2}$
联立解得：vm2=0，vM2=$\sqrt{2gl}$
同理，设第二次碰撞后到第三次碰撞时经历的时间为t2，圆盘的位移为x2，则有：
x2=vM2t2=vm2t2+$\frac{1}{2}$${gt}_{2}^{2}$
解得：t2=2$\sqrt{\frac{2l}{g}}$，x2=4l
第三次碰撞前瞬间小球的速度为：v3=vm2+gt2=2$\sqrt{2gl}$
设第三次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度分别为vm3、vM3，同理可得：
mv3+MvM2=mvm3+MvM3
$\frac{1}{2}$${mv}_{3}^{2}$+$\frac{1}{2}$${Mv}_{M2}^{2}$=$\frac{1}{2}$${mv}_{m3}^{2}$+$\frac{1}{2}$${Mv}_{M3}^{2}$
联立解得：vm3=$\frac{\sqrt{2gl}}{2}$，vM3=$\frac{3\sqrt{2gl}}{2}$
同理，设第三次碰撞后到第四次碰撞时经历的时间为t3，圆盘的位移为x3，则有：
x3=vM3t3=vm3t3+$\frac{1}{2}$${gt}_{3}^{2}$
解得：t3=2$\sqrt{\frac{2l}{g}}$，x3=6l
综上分析，由前三次碰撞后圆盘的向下运动的位移分别为：x1=2l,x2=4l,x3=6l,可归纳出每次碰撞后到下一次碰撞时，圆盘位移逐次增加2l,如果圆盘不离开圆管，第四次碰撞后到第五次碰撞时圆盘的位移为x4=8l。
因20l-l-x1-x2-x3=7l＜x4=8l,故第四次碰撞后圆盘离开圆管，则圆盘在管内运动的过程中，小球与圆盘的碰撞次数为4次。
答：（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小均为$\frac{\sqrt{2gl}}{2}$；
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离为l；
（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数为4次。
2gl=${v}_{1}^{2}$
解得：v1=$\sqrt{2gl}$
设第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度分别为vm1、vM1，小球与圆盘发生弹性碰撞，以竖直向下为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律得：
mv1=mvm1+MvM1
$\frac{1}{2}$${mv}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$${mv}_{m1}^{2}$+$\frac{1}{2}$${Mv}_{M1}^{2}$
已知：$m=\frac{1}{3}M$
联立解得：vm1=$-\frac{\sqrt{2gl}}{2}$，vM1=$\frac{\sqrt{2gl}}{2}$
故第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小均为$\frac{\sqrt{2gl}}{2}$，小球速度方向为竖直向上，圆盘速度方向为竖直向下。
（2）第一次碰后小球做竖直上抛运动。因圆盘所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等，故圆盘竖直向下做匀速直线运动，当小球的速度与圆盘的速度相同时，两者间距离最远。
设第一次碰后小球经过时间t与圆盘的速度相同，两者间的最远距离为sm，以竖直向下为正方向，根据运动学公式得：
vM1=vm1+gt
解得：t=$\sqrt{\frac{2l}{g}}$
sm=vM1t-（vm1t+$\frac{1}{2}$gt2）
解得：sm=l。
（3）第一次碰撞后到第二次碰撞时，两者位移相同，设此过程经历的时间为t1，圆盘的位移为x1，以竖直向下为正方向，根据运动学公式得：
x1=vM1t1=vm1t1+$\frac{1}{2}$${gt}_{1}^{2}$
解得：t1=2$\sqrt{\frac{2l}{g}}$，x1=2l
第二次碰撞前瞬间小球的速度为：v2=vm1+gt1=$\frac{3\sqrt{2gl}}{2}$
设第二次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度分别为vm2、vM2，以竖直向下为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律得：
mv2+MvM1=mvm2+MvM2
$\frac{1}{2}$${mv}_{2}^{2}$+$\frac{1}{2}$${Mv}_{M1}^{2}$=$\frac{1}{2}$${mv}_{m2}^{2}$+$\frac{1}{2}$${Mv}_{M2}^{2}$
联立解得：vm2=0，vM2=$\sqrt{2gl}$
同理，设第二次碰撞后到第三次碰撞时经历的时间为t2，圆盘的位移为x2，则有：
x2=vM2t2=vm2t2+$\frac{1}{2}$${gt}_{2}^{2}$
解得：t2=2$\sqrt{\frac{2l}{g}}$，x2=4l
第三次碰撞前瞬间小球的速度为：v3=vm2+gt2=2$\sqrt{2gl}$
设第三次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度分别为vm3、vM3，同理可得：
mv3+MvM2=mvm3+MvM3
$\frac{1}{2}$${mv}_{3}^{2}$+$\frac{1}{2}$${Mv}_{M2}^{2}$=$\frac{1}{2}$${mv}_{m3}^{2}$+$\frac{1}{2}$${Mv}_{M3}^{2}$
联立解得：vm3=$\frac{\sqrt{2gl}}{2}$，vM3=$\frac{3\sqrt{2gl}}{2}$
同理，设第三次碰撞后到第四次碰撞时经历的时间为t3，圆盘的位移为x3，则有：
x3=vM3t3=vm3t3+$\frac{1}{2}$${gt}_{3}^{2}$
解得：t3=2$\sqrt{\frac{2l}{g}}$，x3=6l
综上分析，由前三次碰撞后圆盘的向下运动的位移分别为：x1=2l,x2=4l,x3=6l,可归纳出每次碰撞后到下一次碰撞时，圆盘位移逐次增加2l,如果圆盘不离开圆管，第四次碰撞后到第五次碰撞时圆盘的位移为x4=8l。
因20l-l-x1-x2-x3=7l＜x4=8l,故第四次碰撞后圆盘离开圆管，则圆盘在管内运动的过程中，小球与圆盘的碰撞次数为4次。
答：（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小均为$\frac{\sqrt{2gl}}{2}$；
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离为l；
（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数为4次。