题目
概率为____.9.设Phi(x)是Xsim N(0,1)的分布函数，则Phi(-x)+Phi(x)=____.
概率为____.
9.设$\Phi(x)$是$X\sim N(0,1)$的分布函数，则$\Phi(-x)+\Phi(x)$=____.
题目解答
答案
设 $\Phi(x)$ 为标准正态分布 $X \sim N(0,1)$ 的分布函数，即 $\Phi(x) = P(X \leq x)$。
由标准正态分布的对称性，有 $P(X \leq -x) = P(X \geq x)$。
根据概率性质，$P(X \geq x) = 1 - P(X < x) = 1 - \Phi(x)$（因 $X$ 连续，$P(X < x) = P(X \leq x)$）。
因此，$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$。
相加得：$\Phi(-x) + \Phi(x) = (1 - \Phi(x)) + \Phi(x) = 1$。
答案： $\boxed{1}$
解析
考查要点：本题主要考查标准正态分布的对称性及其分布函数的性质。
解题核心思路：利用标准正态分布的对称性，将$\Phi(-x)$转化为与$\Phi(x)$相关的表达式，再结合概率的基本性质进行求和。
破题关键点：
- 标准正态分布的对称性：$P(X \leq -x) = P(X \geq x)$；
- 分布函数的补集关系：$P(X \geq x) = 1 - \Phi(x)$；
- 代数运算：将$\Phi(-x)$和$\Phi(x)$相加后化简。
步骤1：利用对称性表达$\Phi(-x)$
由标准正态分布的对称性，有：
$\Phi(-x) = P(X \leq -x) = P(X \geq x)$
步骤2：将右侧概率转化为$\Phi(x)$的表达式
根据概率的补集性质：
$P(X \geq x) = 1 - P(X < x) = 1 - \Phi(x)$
步骤3：代入并求和
将$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$代入原式：
$\Phi(-x) + \Phi(x) = (1 - \Phi(x)) + \Phi(x) = 1$