3.判断题 设随机变量X和Y的相关系数ρ=0，则X和Y一定相互独立.（）A. 错B. 对

本题考查随机变量相关系数与独立性的关系。解题思路是明确相关系数的定义和性质，以及随机变量相互独立的概念，通过分析相关系数为$0$时随机变量之间的关系，判断是否一定相互独立。

相关系数$\rho_{XY}$的计算公式为$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，其中$Cov(X,Y)$是$X$和$Y$的协方差，$D(X)$和$D(Y)$分别是$X$和$Y$的方差。当$\rho_{XY} = 0$时，意味着$Cov(X,Y)=0$，这表明$X$和$Y$之间不存在线性相关关系。

然而，随机变量的独立性是一个更强的概念。两个随机变量$X$和$Y$相互独立，是指对于任意的实数$x$和$y$，都有$P(X\leq x,Y\leq y)=P(X\leq x)P(Y\leq y)$。

我们可以通过一个具体的例子来理解。设随机变量$X$在区间$[-1,1]$上服从均匀分布，其概率密度函数为$f_X(x)=\begin{cases}\frac{1}{2},& -1\leq x\leq 1\\0, & \text{其他}\end{cases}$，令$Y = X^2$。

首先计算$E(X)$：
根据期望的定义$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx=\int_{-1}^{1}x\cdot\frac{1}{2}dx$
$=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}x^2\big|_{-1}^{1}=\frac{1}{4}(1^2 - (-1)^2)=0$

然后计算$E(XY)=E(X\cdot X^2)=E(X^3)$：
$E(X^3)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^3f_X(x)dx=\int_{-1}^{1}x^3\cdot\frac{1}{2}dx$
$=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}x^4\big|_{-1}^{1}=\frac{1}{8}(1^4 - (-1)^4)=0$

接着计算协方差$Cov(X,Y)$：
根据协方差的定义$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，因为$E(X)=0$，$E(XY)=0$，所以$Cov(X,Y)=0$。
又因为$D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(x - E(X))^2f_X(x)dx=\int_{-1}^{1}x^2\cdot\frac{1}{2}dx$
$=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}x^3\big|_{-1}^{1}=\frac{1}{6}(1^3 - (-1)^3)=\frac{1}{3}\gt0$
$D(Y)=D(X^2)=E((X^2)^2)-[E(X^2)]^2$
$E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f_X(x)dx=\int_{-1}^{1}x^2\cdot\frac{1}{2}dx=\frac{1}{3}$
$E(X^4)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^4f_X(x)dx=\int_{-1}^{1}x^4\cdot\frac{1}{2}dx=\frac{1}{5}$
$D(Y)=\frac{1}{5}-(\frac{1}{3})^2=\frac{4}{45}\gt0$
则相关系数$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} = 0$。

但是，当我们知道$X$的值时，就可以唯一确定$Y = X^2$的值，这说明$X$和$Y$不满足相互独立的定义，即$X$和$Y$不独立。

所以，相关系数$\rho = 0$时，$X$和$Y$不一定相互独立。