题目
5.某批矿砂的5个样品的镍含量经测定分别为3.25%,3.27%,3.24%,3.26%,3.24%.-|||-设测定值服从正态分布,问在 alpha =0.05 下能否接受假设:这批矿砂的镍含量为3.25%.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值
首先，计算5个样品的镍含量的样本均值 $\bar{x}$。
$$\bar{x} = \frac{3.25 + 3.27 + 3.24 + 3.26 + 3.24}{5} = \frac{16.26}{5} = 3.252$$
步骤 2：计算样本标准差
然后，计算样本标准差 $s$。
$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5}(x_i - \bar{x})^2}{5-1}}$$
$$s = \sqrt{\frac{(3.25-3.252)^2 + (3.27-3.252)^2 + (3.24-3.252)^2 + (3.26-3.252)^2 + (3.24-3.252)^2}{4}}$$
$$s = \sqrt{\frac{0.0004 + 0.000324 + 0.000144 + 0.000064 + 0.000144}{4}}$$
$$s = \sqrt{\frac{0.001076}{4}}$$
$$s = \sqrt{0.000269}$$
$$s \approx 0.0164$$
步骤 3：计算t统计量
接下来，计算t统计量。
$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$$
$$t = \frac{3.252 - 3.25}{0.0164/\sqrt{5}}$$
$$t = \frac{0.002}{0.0073}$$
$$t \approx 0.274$$
步骤 4：确定临界值
在自由度 $df = n - 1 = 4$ 和显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，查t分布表得到临界值 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 4} \approx 2.776$。
步骤 5：比较t统计量与临界值
比较计算得到的t统计量与临界值，判断是否接受原假设。
$$|t| = 0.274 < t_{0.025, 4} = 2.776$$
由于计算得到的t统计量的绝对值小于临界值，因此在 $\alpha = 0.05$ 下接受原假设。
首先，计算5个样品的镍含量的样本均值 $\bar{x}$。
$$\bar{x} = \frac{3.25 + 3.27 + 3.24 + 3.26 + 3.24}{5} = \frac{16.26}{5} = 3.252$$
步骤 2：计算样本标准差
然后，计算样本标准差 $s$。
$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5}(x_i - \bar{x})^2}{5-1}}$$
$$s = \sqrt{\frac{(3.25-3.252)^2 + (3.27-3.252)^2 + (3.24-3.252)^2 + (3.26-3.252)^2 + (3.24-3.252)^2}{4}}$$
$$s = \sqrt{\frac{0.0004 + 0.000324 + 0.000144 + 0.000064 + 0.000144}{4}}$$
$$s = \sqrt{\frac{0.001076}{4}}$$
$$s = \sqrt{0.000269}$$
$$s \approx 0.0164$$
步骤 3：计算t统计量
接下来，计算t统计量。
$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$$
$$t = \frac{3.252 - 3.25}{0.0164/\sqrt{5}}$$
$$t = \frac{0.002}{0.0073}$$
$$t \approx 0.274$$
步骤 4：确定临界值
在自由度 $df = n - 1 = 4$ 和显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，查t分布表得到临界值 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 4} \approx 2.776$。
步骤 5：比较t统计量与临界值
比较计算得到的t统计量与临界值，判断是否接受原假设。
$$|t| = 0.274 < t_{0.025, 4} = 2.776$$
由于计算得到的t统计量的绝对值小于临界值，因此在 $\alpha = 0.05$ 下接受原假设。