题目

用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵。(1) A = } 2 & 0 & 0 0 & 2 & 5 0 & 1 & 3 ;(2) A = } 1 & 3 & 0 & 0 2 & 7 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 2 & 2 .

用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵。 (1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$; (2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.

题目解答

答案

矩阵 $ A $ 的逆矩阵
矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} $ 可分块为 $ A = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} $，其中 $ A_{11} = (2) $，$ A_{22} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $。
$ A_{11}^{-1} = \frac{1}{2} $，$ A_{22}^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $。
因此，$ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} $。

矩阵 $ B $ 的逆矩阵
矩阵 $ B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} $ 可分块为 $ B = \begin{pmatrix} B_{11} & 0 \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix} $，其中 $ B_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} $，$ B_{22} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} $。
$ B_{11}^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} $，$ B_{22}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix} $。
因此，$ B^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -3 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix} $。

答案：
(1) $ A^{-1} = \boxed{\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}} $
(2) $ B^{-1} = \boxed{\begin{pmatrix} 7 & -3 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}} $

解析

本题主要考查利用分块矩阵求矩阵的逆矩阵。解题思路是先将原矩阵进行合理分块，将将其转化为分块对角矩阵的形式，然后分别求出各个子块矩阵的逆矩阵，最后根据分块对角矩阵求逆的性质得到原矩阵的逆矩阵。

（1）对于矩阵$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

  • 分块：
    将矩阵$A$分块为$A = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}$，其中$2)，\(A_{22} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$。
  • 求子块矩阵的逆矩阵：
    • 对于$A_{11}=(2)$，根据一阶矩阵求逆公式$(a)^{-1}=\frac{1}{a}$（$a\neq0$），可得$A_{11}^{-1}=\frac{1}{2}$。
    • 对于二阶矩阵$A_{22} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，根据二阶矩阵求逆公式$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$（$ad - bc\neq0$），这里$a = 2$，$b = 5$，$c = 1$，$d = 3$，则$\vert A_{22}^{-1}=\frac{1}{2\times3 - 5\times1}\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}$。
  • 求原矩阵的逆矩阵：
    根据分块对角矩阵求逆性质$\begin{pmatrix}A_{11}&0\\0&A_{22}\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A_{11}^{-1}&0\\0&A_{22}^{-1}\end{pmatrix}$，可得：
    $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

（2对于矩阵$B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

  • 分块：
    将矩阵$B$分块为$B = \begin{pmatrix} B_{11} & 0 \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix}$，其中$B_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$，$B_{22} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$。
  • 求子块矩阵的逆矩阵：
    • 对于二阶矩阵$B_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$，根据二阶矩阵求逆公式，这里$a = 1$，$b = 3$，$c = 2$，$d = 7$，则$B_{11}^{-1}=\frac{1}{1\times7 - 3\times2}\begin{pmatrix}7&-3\\-2&1\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}7&-3\\-2&1\end{pmatrix}$。
    • 对于二阶矩阵$B_{22} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$，这里$a = 3$，$b = 2$，$c = 2$，$d = 2$，则$B_{22}^{-1}=\frac{1}{3\times2 - 2\times2}\begin{pmatrix}2&-2\\-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&\frac{3}{2}\end{pmatrix}$。
  • 求原矩阵的逆矩阵：
    根据分块对角矩阵求逆性质$\begin{pmatrix}B_{11}&0\\0&B_{22}\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}B_{11}^{-1}&0\\0&B_{22}^{-1}\end{pmatrix}$可得：
    $B^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -3 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}}$