7.(单选题，8.0分)设随机变量X服从参数为θ的指数分布.若E(X^2)=72,则θ= ( ).A. 3B. 6sqrt(2)C. 6D. -6

本题考查指数分布的期望和方差公式以及期望的性质。解题思路是先明确指数分布的期望和方差公式，再利用期望的性质得到$E(X^{2})$与参数$\theta$的关系，最后根据已知条件$E(X^{2}) = 72$求解$\theta$。

步骤一：明确指数分布的期望和方差公式

若随机变量$X$服从参数为$\theta$的指数分布，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\theta e^{-\theta x}, & x\geq0 \\ 0, & x\lt0\end{cases}$，则期望$E(X)=\frac{1}{\theta}$，方差$D(X)=\frac{1}{\theta^{2}}$。

步骤二：利用期望的性质得到$E(X^{2})$与参数$\theta$的关系

根据方差的定义式$D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$，移项可得$E(X^{2}) = D(X) + [E(X)]^{2}$。
将$E(X)=\frac{1}{\theta}$，$D(X)=\frac{1}{\theta^{2}}$代入上式，得到$E(X^{2})=\frac{1}{\theta^{2}} + (\frac{1}{\theta})^{2}=\frac{2}{\theta^{2}}$。

步骤三：根据已知条件求解$\theta$

已知$E(X^{2}) = 72$，即$\frac{2}{\theta^{2}} = 72$。
等式两边同时乘以$\theta^{2}$得到$2 = 72\theta^{2}$。
等式两边再同时除以$72$得到$\theta^{2}=\frac{2}{72}=\frac{1}{36}$。
对等式两边开平方可得$\theta = \pm\frac{1}{6}$。
因为指数分布的参数$\theta\gt0$，所以舍去$\theta = -\frac{1}{6}$，得到$\theta = \frac{1}{6}$的倒数，即$\theta = 6$。