设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数 f(x,y) = } ke^-(2x+y), & x>0, y>0 0, & (其他) ，则常数k = ( )A. -0.5B. -1C. 1.5D. 2

本题考查二维连续型随机变量联合密度函数的性质，解题思路是利用联合密度函数在整个平面上的二重积分为$1$这一性质来求解常数$k$。

1. 根据二维连续型随机变量联合密度函数的性质可知，对于联合密度函数$f(x,y)$，有$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy = 1$。
2. 已知$f(x,y) = \begin{cases} ke^{-(2x+y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，则$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}ke^{-(2x+y)}dxdy$。
3. 先对$x$积分：
   • 计算$\int_{0}^{+\infty}ke^{-(2x+y)}dx$，把$y$看作常数，根据积分公式$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C$（$a\neq0$），可得$\int_{0}^{+\infty}ke^{-(2x+y)}dx=k\int_{0}^{+\infty}e^{-y}e^{-2x}dx$。
   • 因为$e^{-y}$与$x$无关，可提到积分号外，即$k\int_{0}^{+\infty}e^{-y}e^{-2x}dx=ke^{-y}\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx$。
   • 计算$\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx$，令$a = - 2$，则$\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx=\lim\limits_{b \to +\infty}\int_{0}^{b}e^{-2x}dx=\lim\limits_{b \to +\infty}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{b}$。
   • 计算$\lim\limits_{b \to +\infty}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{b}=\lim\limits_{b \to +\infty}\left(-\frac{1}{2}e^{-2b}+\frac{1}{2}e^{0}\right)$，因为$\lim\limits_{b \to +\infty}e^{-2b}=0$，所以$\lim\limits_{b \to +\infty}\left(-\frac{1}{2}e^{-2b}+\frac{1}{2}e^{0}\right)=\frac{1}{2}$。
   • 那么$ke^{-y}\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx=\frac{k}{2}e^{-y}$。
4. 再对$y$积分：
   • 计算$\int_{0}^{+\infty}\frac{k}{2}e^{-y}dy$，根据积分公式$\int e^{ay}dy=\frac{1}{a}e^{ay}+C$（$a\neq0$），可得$\int_{0}^{+\infty}\frac{k}{2}e^{-y}dy=\frac{k}{2}\lim\limits_{c \to +\infty}\int_{0}^{c}e^{-y}dy$。
   • 计算$\frac{k}{2}\lim\limits_{c \to +\infty}\int_{0}^{c}e^{-y}dy=\frac{k}{2}\lim\limits_{c \to +\infty}\left[-e^{-y}\right]_{0}^{c}$。
   • 计算$\frac{k}{2}\lim\limits_{c \to +\infty}\left[-e^{-y}\right]_{0}^{c}=\frac{k}{2}\lim\limits_{c \to +\infty}\left(-e^{-c}+e^{0}\right)$，因为$\lim\limits_{c \to +\infty}e^{-c}=0$，所以$\frac{k}{2}\lim\limits_{c \to +\infty}\left(-e^{-c}+e^{0}\right)=\frac{k}{2}$。
5. 因为$\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}ke^{-(2x+y)}dxdy = 1$，即$\frac{k}{2}=1$，解得$k = 2$。