某批矿砂的5个样品中的镍含量（以%计）,经测定为 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在α=0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25？

考查要点：本题主要考查单样本t检验的应用，用于检验正态分布总体均值是否等于某个假设值，尤其在总体方差未知且样本量较小的情况下。

解题核心思路：

1. 建立假设：明确原假设（$H_0$）和备择假设（$H_1$）。
2. 选择检验统计量：由于总体方差未知且样本量小（$n=5$），采用t统计量。
3. 计算样本均值和标准差：用于构造t统计量。
4. 确定临界值：根据显著性水平$\alpha=0.01$和自由度$n-1=4$，查t分布表。
5. 比较t值与临界值：判断是否拒绝原假设。

破题关键：

• 正确选择检验方法（t检验而非z检验）。
• 准确计算样本均值和标准差。
• 双侧检验的临界值需注意自由度和$\alpha/2$分位数。

建立假设

• 原假设：$H_0: \mu = 3.25$（镍含量均值为3.25%）
• 备择假设：$H_1: \mu \neq 3.25$（镍含量均值不等于3.25%）

计算样本均值

$\overline{x} = \frac{3.25 + 3.27 + 3.24 + 3.26 + 3.24}{5} = \frac{16.26}{5} = 3.252$

计算样本标准差

1. 计算离差平方和：
   $\begin{align*} (3.25-3.252)^2 &= 0.000004, \\ (3.27-3.252)^2 &= 0.000324, \\ (3.24-3.252)^2 &= 0.000144, \\ (3.26-3.252)^2 &= 0.000064, \\ (3.24-3.252)^2 &= 0.000144. \end{align*}$
   总和为 $0.000004 + 0.000324 + 0.000144 + 0.000064 + 0.000144 = 0.00068$。

2. 样本方差：
   $s^2 = \frac{0.00068}{5-1} = 0.00017$

3. 样本标准差：
   $s = \sqrt{0.00017} \approx 0.013$

构造t统计量

$t = \frac{\overline{x} - \mu}{s/\sqrt{n}} = \frac{3.252 - 3.25}{0.013/\sqrt{5}} = \frac{0.002}{0.00581} \approx 0.344$

确定临界值

• 自由度 $df = n-1 = 4$，双侧检验下 $\alpha/2 = 0.005$。
• 查t分布表得临界值 $t_{0.005}(4) = 4.6041$。

做出决策

• 比较：$|t| = 0.344 < 4.6041$。
• 结论：不拒绝原假设，即在$\alpha=0.01$下，这批矿砂的镍含量均值为3.25%。