讨论下列函数在 x=0 处的连续性与可导性:-|||-y= ^2sin dfrac (1)(x) , neq 0 ,-|||-0, =0.

步骤 1：判断函数在 x=0 处的连续性
为了判断函数在 x=0 处的连续性，我们需要计算函数在 x=0 处的极限，并与函数在 x=0 处的值进行比较。如果极限存在且等于函数在 x=0 处的值，则函数在 x=0 处连续。
步骤 2：计算函数在 x=0 处的极限
计算 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$，其中 $f(x) = x^2\sin \dfrac{1}{x}$，当 $x \neq 0$ 时。
步骤 3：判断函数在 x=0 处的可导性
为了判断函数在 x=0 处的可导性，我们需要计算函数在 x=0 处的导数。如果导数存在，则函数在 x=0 处可导。
步骤 4：计算函数在 x=0 处的导数
计算 $f'(0)$，其中 $f'(x) = -x\sin \dfrac{1}{x} - \cos \dfrac{1}{x}$，当 $x \neq 0$ 时。
【答案】
【解析】
步骤 1：判断函数在 x=0 处的连续性
为了判断函数在 x=0 处的连续性，我们需要计算函数在 x=0 处的极限，并与函数在 x=0 处的值进行比较。如果极限存在且等于函数在 x=0 处的值，则函数在 x=0 处连续。
步骤 2：计算函数在 x=0 处的极限
计算 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$，其中 $f(x) = x^2\sin \dfrac{1}{x}$，当 $x \neq 0$ 时。
$\lim _{x\rightarrow 0}f(x) = \lim _{x\rightarrow 0}x^2\sin \dfrac{1}{x} = 0 = f(0)$
故函数在 x=0 处连续。
步骤 3：判断函数在 x=0 处的可导性
为了判断函数在 x=0 处的可导性，我们需要计算函数在 x=0 处的导数。如果导数存在，则函数在 x=0 处可导。
步骤 4：计算函数在 x=0 处的导数
计算 $f'(0)$，其中 $f'(x) = -x\sin \dfrac{1}{x} - \cos \dfrac{1}{x}$，当 $x \neq 0$ 时。
$f'(0) = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x) - f(0)}{x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{x^2\sin \dfrac{1}{x}}{x} = \lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac{1}{x} = 0$
故函数在 x=0 处可导。