题目

设A为n阶方阵，且有A^2-2A-5E=0，证明A+E可逆，并求其逆.

设A为n阶方阵，且有$A^{2}-2A-5E=0$，证明A+E可逆，并求其逆.

题目解答

答案

将给定方程 $A^2 - 2A - 5E = 0$ 变形为： \[ A^2 = 2A + 5E \] 考虑表达式 $(A + E)(A - 3E)$： \[ (A + E)(A - 3E) = A^2 - 2A - 3E = (2A + 5E) - 2A - 3E = 2E \] 两边除以 2 得： \[ (A + E) \left( \frac{A - 3E}{2} \right) = E \] 由逆矩阵定义，$A + E$ 可逆，且其逆矩阵为： \[ \boxed{\frac{A - 3E}{2}} \] （或等价表示：$\boxed{\frac{1}{2}(A - 3E)}$）

解析

本题考查矩阵可逆的定义及矩阵运算，解题的关键思路是通过对已知方程进行变形，构造出形如$(A + E)B = E$的式子，根据逆矩阵的定义来证明$A + E$可逆并求出其逆矩阵。

  1. 首先，对已知方程$A^{2}-2A - 5E = 0$进行变形，将$5E$移到等号右边可得：
    • $A^{2}-2A=5E$，进一步变形为$A^{2}=2A + 5E$。
  2. 然后，考虑$(A + E)$与另一个矩阵相乘的形式，设这个矩阵为$B$，我们尝试找到合适的$B$使得$(A + E)BB = E$。
    • 计算$(A + E)(A - 3E)$，根据矩阵乘法分配律$(A + E)(A - 3E)=A\times A+A\times(-3E)+E\times A+E\times(-3E)$。
    • 因为$A\times A = A^{2}$，$A\times(-3E)=-3A$，$E\times A = A$，$E\times(-3E)=-3E$，所以$(A + E)(A - 3E)=A^{2}-3A + A-3E=A^{2}-2A - 3E$。
    • 把$A^{2}=2A + 5E$代入上式，可得$(A + E)(A - 3E)=(2A + 5E)-2A - 3E$。
    • 去括号得$(A + E)(A - 3E)=2A + 5E-2A - 3E$，合并同类项后$(A + E)(A - 3E)=2E$。
  3. 最后，根据逆矩阵的定义：对于$n$阶方阵$M$和$N$，若$MN = E$，则$M$可逆，且$M^{-1}=N$。
    • 对$(A + E)(A - 3E)=2E$两边同时乘以$\frac{1}{2}$，得到$(A + E)\left(\frac{A - 3E}{2}\right)=E$。
    • 所以由逆矩阵的定义可知$A + E$可逆，且$(A + E)^{-1}=\frac{A - 3E}{2}$。