题目

18. (2.5分)设f(2x)=x²-2x，那么f(x)=（）。A. (1)/(4)x+1B. (1)/(4)x^2-1C. (1)/(4)x^2-xD. (1)/(4)x^2+1

18. (2.5分) 设f(2x)=x²-2x，那么f(x)=（）。

A. $\frac{1}{4}x+1$

B. $\frac{1}{4}x^{2}-1$

C. $\frac{1}{4}x^{2}-x$

D. $\frac{1}{4}x^{2}+1$

题目解答

答案

C. $\frac{1}{4}x^{2}-x$

解析

本题考查函数解析式的求解，解题思路是通过换元法，将$2x$用一个新的变量表示，然后求出关于新变量的函数表达式，最后再将新变量换回$x$。

  1. 设$t = 2x$，则$x=\frac{t}{2}$。
  2. 已知$f(2x)=x^{2}-2x$，将$2x=t$，$x = \frac{t}{2}$代入到$f(2x)$中，可得$f(t)$的表达式：
    • $f(t)=(\frac{t}{2})^{2}-2\times\frac{t}{2}$。
    • 根据幂运算法则$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$，对$(\frac{t}{2})^{2}$进行计算，可得$(\frac{t}{2})^{2}=\frac{t^{2}}{4}$；$2\times\frac{t}{2}=t$。
    • 所以$f(t)=\frac{1}{4}t^{2}-t$。
  3. 因为函数的自变量可以用任意字母表示，所以$f(x)=\frac{1}{4}x^{2}-x$。