题目

设 X sim N(mu, sigma^2)，则 P(X > 1 + mu) 的值随()。A. sigma 的增大而增大B. sigma 的增大而减小C. mu 的增大而增大D. mu 的增大而减小

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $P(X > 1 + \mu)$ 的值随()。

A. $\sigma$ 的增大而增大

B. $\sigma$ 的增大而减小

C. $\mu$ 的增大而增大

D. $\mu$ 的增大而减小

题目解答

答案

A. $\sigma$ 的增大而增大

解析

本题考查正态分布的性质以及概率的计算，解题的关键思路是将给定的正态分布变量进行标准化变换，然后根据标准正态分布的性质来分析概率随参数的变化情况。

  1. 首先，已知$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，根据正态分布的标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$Z\sim N(0,1)$，对$P(X\gt1 + \mu)$进行标准化处理：
    • 令$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，则$X=\sigma Z+\mu$。
    • 那么$P(X\gt1 + \mu)=P(\sigma Z+\mu\gt1 + \mu)$。
    • 对不等式$\sigma Z+\mu\gt1 + \mu$进行化简，两边同时减去$\mu$可得$\sigma Z\gt1$，再两边同时除以$\sigma$（因为$\sigma\gt0$，不等号方向不变），得到$P(Z\gt\frac{1}{\sigma})$。
  2. 然后，根据标准正态分布的性质，标准正态分布的概率密度函数关于$y$轴对称，且$P(Z\gt z)=1 - P(Z\leq z)$，而$P(Z\leq z)=\varPhi(z)$（$\varPhi(z)$为标准正态分布的分布函数），所以$P(Z\gt\frac{1}{\sigma}) = 1-\varPhi(\frac{1}{\sigma})$。
  3. 接着，分析$\varPhi(z)$的性质，$\varPhi(z)$是单调递增函数。
    • 当$\sigma$增大时，$\frac{1}{\sigma}$减小。
    • 因为$\varPhi(z)$单调递增，所以$\varPhi(\frac{1}{\sigma})$减小。
    • 那么$1-\varPhi(\frac{1}{\sigma})$增大，即$P(X\gt1 + \mu)$增大。
  4. 最后，分析$\mu$对$P(X\gt1 + \mu)$的影响：
    • 从$P(X\gt1 + \mu)=P(Z\gt\frac{1}{\sigma})$可以看出，$P(X\gt1 + \mu)$的表达式中不含有$\mu$，所以$P(X\gt1 + \mu)$的值不随$\mu$的变化而变化。