题目
8. (3.0分) 设X和Y相互独立，且X~N(1,4) Y~N(-2,8)，则2X-3Y服从____.
8. (3.0分) 设X和Y相互独立，且X~N(1,4) Y~N(-2,8)，则2X-3Y服从____.
题目解答
答案
为了确定随机变量 $2X - 3Y$ 的分布，我们需要使用正态分布的性质。具体来说，如果 $X$ 和 $Y$ 是两个独立的正态随机变量，那么它们的线性组合 $aX + bY$ 也是一个正态随机变量。正态分布的均值和方差可以按以下方式计算：
1. 线性组合的均值是各个随机变量均值的线性组合。
2. 线性组合的方差是各个随机变量方差的线性组合，其中系数被平方。
已知：
- $X \sim N(1, 4)$
- $Y \sim N(-2, 8)$
我们需要找到 $2X - 3Y$ 的分布。
### 第1步：计算 $2X - 3Y$ 的均值
$2X - 3Y$ 的均值由下式给出：
\[
E(2X - 3Y) = 2E(X) - 3E(Y)
\]
代入 $X$ 和 $Y$ 的均值：
\[
E(2X - 3Y) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) = 2 + 6 = 8
\]
### 第2步：计算 $2X - 3Y$ 的方差
$2X - 3Y$ 的方差由下式给出：
\[
\text{Var}(2X - 3Y) = 2^2 \text{Var}(X) + (-3)^2 \text{Var}(Y)
\]
代入 $X$ 和 $Y$ 的方差：
\[
\text{Var}(2X - 3Y) = 4 \cdot 4 + 9 \cdot 8 = 16 + 72 = 88
\]
### 第3步：写出 $2X - 3Y$ 的分布
由于 $X$ 和 $Y$ 是正态分布的，它们的线性组合 $2X - 3Y$ 也是正态分布的。因此，$2X - 3Y$ 的分布为：
\[
2X - 3Y \sim N(8, 88)
\]
最终答案是：
\[
\boxed{N(8,88)}
\]
解析
本题考查正态分布的性质以及独立随机变量变量线性组合的均值和方差计算。解题思路是先明确正态正态分布的表示形式$N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$为均值，$\sigma^{2}$为方差。再根据独立随机变量线性组合的性质，分别计算$2X - 3Y$的均值和方差，最后得出其服从的正态分布。
- 计算$2X - 3Y$的均值：
- 对于独立随机变量$X$和$Y$，线性组合$aX + bY$的均值公式为$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$。
- 已知$X\sim N(1,4)$，则$E(X) = 1$；$Y\sim N(-2,8)$，则$E(Y)= - 2$。
- 对于$2X 3Y$，这里$a = 2$，$b=-3$，根据上述公式可得：
$\begin{align*}E(2X - 3Y)&=2E(X)-3E(Y)\\&=2\times1-3\times(-2\\&=2 + 6\\&=8\end*}$
- 计算$2X - 3Y$的方差：
- 对于独立随机变量$X$和$Y$，线性组合$aX + bY$的方差公式为$Var(aX + bY)=a^{2}Var(X)+b^{2}Var(Y)$。
- 已知$Var(X) = 4$，$Var(Y)=8$，对于$2X - 3Y$，$a = 2$，$b = - 3$，根据上述公式可得：
$\begin*}Var(2X - 3Y)&=2^{2}Var(X)+(-3)^{2}Var(Y)\\&=4\times4 + 9\times8\\&=16+72\\&=88\end*}$
- 确定$2X -3Y$的分布：
- 因为$X$和$Y$相互独立且都服从正态分布，根据正态分布的性质，它们的线性组合$2X - 3Y$也服从正态分布。
- 由前面计算可知均值为$8$，方差为$88$，所以$2X - 3Y$服从的正态分布为$N(8,88)$。