四、(10分)已知某机器生产出的零件长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ²)，其中μ，σ²均未知。现从中随意抽取容量为16的一个样本，测得样本均值overline(x)=10，样本修正方差S_(16)^*(2)=0.16。(1)求总体方差σ²的置信度为0.90的置信区间；(注：(1)小题结果就用分位数表示)(2)在显著性水平为0.05下检验假设H_(0)：μ=9.7，H_(1)：μ≠9.7.附：t_(0.95)(15)=1.7531，t_(0.95)(16)=1.7459，t_(0.975)(15)=2.1315，t_(0.975)(16)=2.1199

考查要点

1. 总体方差的置信区间：利用卡方分布构造置信区间，理解修正方差与自由度的关系。
2. 假设检验：基于t检验的均值检验，掌握检验统计量的计算与拒绝域的判断。

解题核心思路

1. 方差置信区间：
   • 关键公式：$\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)} \right)$
   • 自由度：$n-1=15$，查卡方分位数表。
2. 假设检验：
   • 检验统计量：$T = \frac{\overline{x} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$
   • 拒绝域：双侧检验，比较$|T|$与$t_{\alpha/2}(n-1)$。

第（1）题

总体方差置信区间

1. 确定参数：
   • 样本修正方差 $S_{16}^* = 0.16$，自由度 $n-1 = 15$。
   • 置信度 $0.90$，对应 $\alpha = 0.10$，$\alpha/2 = 0.05$。
2. 查卡方分位数：
   • $\chi^2_{0.05}(15) = 25.00$（上侧分位数）
   • $\chi^2_{0.95}(15) = 7.26$（下侧分位数）
3. 代入公式：
   $\left( \frac{15 \times 0.16}{25.00}, \frac{15 \times 0.16}{7.26} \right)$

第（2）题

假设检验

1. 检验统计量计算：
   $T = \frac{10 - 9.7}{0.4 / \sqrt{16}} = \frac{0.3}{0.1} = 3$
2. 确定临界值：
   • 显著性水平 $\alpha = 0.05$，自由度 $15$，双侧检验对应 $t_{0.975}(15) = 2.1315$。
3. 判断拒绝域：
   • $|T| = 3 > 2.1315$，故拒绝原假设。