设总体服从对数正态分布，即，其概率密度函数为0)" data-width="64" data-height="25" data-size="980" data-format="png" style="max-width:100%">，其中0" data-width="203" data-height="27" data-size="2002" data-format="png" style="max-width:100%">是未知参数，是取自的一个样本，试求的极大似然估计量。

步骤 1：构造似然函数
似然函数$L(\mu ,{\sigma }^{2})$是概率密度函数$f(x;\mu ,{\sigma }^{2})$在样本点${x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}$处的乘积，即
$L(\mu ,{\sigma }^{2})=\prod _{i=1}^{n}f({x}_{i};\mu ,{\sigma }^{2})$
$=\prod _{i=1}^{n}\dfrac {1}{\sqrt {2\pi {\sigma }^{2}}}\dfrac {1}{{x}_{i}}\exp \left(-\dfrac {1}{2{\sigma }^{2}}{(\ln {x}_{i}-\mu )}^{2}\right)$
$={(\sqrt {2\pi {\sigma }^{2}})}^{-n}\prod _{i=1}^{n}\dfrac {1}{{x}_{i}}\exp \left(-\dfrac {1}{2{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{(\ln {x}_{i}-\mu )}^{2}\right)$
步骤 2：对数似然函数
为了方便求解，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数
$\ln L(\mu ,{\sigma }^{2})=-\dfrac {n}{2}\ln (2\pi )-\dfrac {n}{2}\ln {\sigma }^{2}-\sum _{i=1}^{n}\ln {x}_{i}-\dfrac {1}{2{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{(\ln {x}_{i}-\mu )}^{2}$
步骤 3：求极大似然估计量
为了求得极大似然估计量，我们需要对对数似然函数分别对$\mu$和${\sigma }^{2}$求偏导，并令其等于0。
对$\mu$求偏导：
$\dfrac {\partial \ln L(\mu ,{\sigma }^{2})}{\partial \mu }=\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}(\ln {x}_{i}-\mu )=0$
解得$\mu =\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}\ln {x}_{i}$
对${\sigma }^{2}$求偏导：
$\dfrac {\partial \ln L(\mu ,{\sigma }^{2})}{\partial {\sigma }^{2}}=-\dfrac {n}{2{\sigma }^{2}}+\dfrac {1}{2{\sigma }^{4}}\sum _{i=1}^{n}{(\ln {x}_{i}-\mu )}^{2}=0$
解得${\sigma }^{2}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{(\ln {x}_{i}-\mu )}^{2}$