题目

某高校统计专业学生的概率成绩服从正态分布，随机抽取10位同学，测得平均成绩 bar(x) = 83.7 分，标准差 s = 5.92 ，求该专业学生概率平均成绩 mu 置信度为95%的置信区间。

某高校统计专业学生的概率成绩服从正态分布，随机抽取10位同学，测得平均成绩 $\bar{x} = 83.7$ 分，标准差 $s = 5.92$ ，求该专业学生概率平均成绩 $\mu$ 置信度为95%的置信区间。

题目解答

答案

已知样本均值 $\bar{x} = 83.7$，样本标准差 $s = 5.92$，样本容量 $n = 10$，置信度为 95%（即 $\alpha = 0.05$）。
由于总体方差未知且样本容量较小，使用 t 分布。
自由度 $n-1 = 9$，查表得 $t_{0.025}(9) = 2.262$。
标准误为 $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{5.92}{\sqrt{10}} \approx 1.872$。
margin of error 为 $t_{0.025}(9) \times \frac{s}{\sqrt{n}} \approx 2.262 \times 1.872 \approx 4.234$。
置信区间为 $\bar{x} \pm 4.234$，即 $(83.7 - 4.234, 83.7 + 4.234) = (79.466, 87.934)$。

答案：
$\boxed{(79.466, 87.934)}$
（或表示为 $83.7 \pm 4.234$）

解析

本题考查的是在总体方差未知且样本容量较小的情况下，利用$t$分布来求解总体均值的置信区间。解题思路如下：

  1. 首先明确已知条件，包括样本均值$\bar{x}$、样本标准差$s$、样本容量$n$以及置信度。
  2. 由于总体方差未知且样本容量$n = 10\lt30$较小，所以我们使用$t$分布来构造置信区间。
  3. 计算自由度$df=n - 1$，并根据置信度$1-\alpha$确定$\alpha$的值，进而找到$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$的值，这里可以通过查阅$t$分布表得到。
  4. 计算标准误$SE=\frac{s}{\sqrt{n}}$，它衡量了样本均值的抽样误差。
  5. 计算边际误差$E=t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\times\frac{s}{\sqrt{n}}$，边际误差表示了在一定置信水平下，样本均值与总体均值之间的最大可能误差。
  6. 最后根据公式$\bar{x}\pm E$计算出总体均值$\mu$的置信区间。

下面进行详细的计算：

  1. 已知样本均值$\bar{x} = 83.7$，样本标准差$s = 5.92$，样本容量$n = 10$，置信度为$95\%$，则$\alpha=1 - 0.95 = 0.05$。
  2. 计算自由度$df=n - 1=10 - 1 = 9$。
  3. 查$t$分布表可得$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)=t_{0.025}(9)=2.262$。
  4. 计算标准误$SE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{5.92}{\sqrt{10}}$，使用计算器计算$\frac{5.92}{\sqrt{10}}\approx1.872$。
  5. 计算边际误差$E=t_{0.025}(9)\times\frac{s}{\sqrt{n}}\approx2.262\times1.872$，使用计算器计算$2.262\times1.872\approx4.234$。
  6. 计算置信区间：
    下限为$\bar{x}-E=83.7 - 4.234 = 79.466$；
    上限为$\bar{x}+E=83.7 + 4.234 = 87.934$。
    所以该专业学生概率平均成绩$\mu$置信度为$95\%$的置信区间为$(79.466, 87.934)$。